Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. ADiepte-eerst zoeken (DFS)
  2. BHet algoritme van Dijkstra
  3. CHet algoritme van Kruskal
  4. DBellman-Ford is in alle gevallen vereist
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe wordt het handelsreizigersprobleem geclassificeerd?

  1. ADe beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
  2. BDe beslissingsversie zit in P, maar de optimalisatieversie is NP-volledig
  3. CHet is onbeslisbaar
  4. DHet zit in P, omdat het algoritme van Dijkstra het oplost door elke stad één keer te bezoeken
3.DatastructurenGemiddeld

Waar staat in een binaire heap die in een array vanaf index 0 is opgeslagen de ouder van de knoop op index i?

  1. AOp index ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BOp index ⌊i / 2⌋ + 1
  3. COp index 2i + 1
  4. DOp index i − 1
4.DatastructurenMoeilijk

In de BST met wortel 50, linkersubboom 30 (kinderen 20, 40) en rechtersubboom 70 (kinderen 60, 80) wordt de wortel verwijderd met behulp van de inorder-opvolger. Welke sleutel wordt de nieuwe wortel?

  1. A40
  2. B70
  3. C80
  4. D60
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
12511110118313ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

B · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

"Is er een route met lengte hoogstens k?" is NP-volledig; de kortste route vinden is NP-moeilijk, omdat dat minstens zo moeilijk is.

Antwoord

A · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: A · Op index ⌊(i − 1) / 2⌋

Waarom dit het antwoord is

De kinderen van i staan op 2i + 1 en 2i + 2, dus de ouder van i staat op ⌊(i − 1) / 2⌋; bij indexering vanaf 1 is het ⌊i / 2⌋.

Antwoord

A · Op index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Datastructuren

Antwoord: D · 60

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop van de rechtersubboom is 60, dus 60 vervangt 50 en zijn oude positie wordt verwijderd; met de voorganger zou het 40 worden.

Antwoord

D · 60
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 12, C: 5
2. C (5): B: 6, E: 15
3. B (6): D: 17
4. E (15): F: 18
5. D (17)
6. F (18)

ronde 4

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms