Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat meet geamortiseerde analyse?

  1. ADe gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
  2. BDe kosten van de ene duurste bewerking ergens in de reeks
  3. CDe kosten van een algoritme bij de beste invoer
  4. DDe verwachte kosten over willekeurige invoer
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke twee dingen moeten worden aangetoond om te bewijzen dat een beslissingsprobleem X NP-volledig is?

  1. AX heeft geen polynomiaal algoritme, en X is beslisbaar
  2. BX zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
  3. CX reduceert tot een probleem in P, en X zit in NP
  4. DX zit in P, en X reduceert tot SAT
3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

  1. AGetallen sorteren
  2. BMatrices opslaan
  3. CKortste paden vinden
  4. DZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.DatastructurenMoeilijk

Welke uitspraak over heapsort is juist?

  1. AHet sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
  2. BHet draait op elke invoer in O(n) tijd
  3. CHet is stabiel en heeft O(n) extra geheugen nodig
  4. DHet heeft een binaire zoekboom nodig als extra opslag, dus het gebruikt O(n) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
251519481251ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen

Waarom dit het antwoord is

Geamortiseerde analyse spreidt de kosten van zeldzame dure bewerkingen over veel goedkope, wat een gegarandeerd gemiddelde geeft voor elke reeks.

Antwoord

A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X

Waarom dit het antwoord is

Lidmaatschap van NP laat zien dat X niet moeilijker is dan NP; de reductie vanuit een bekend NP-volledig probleem laat zien dat X minstens zo moeilijk is als heel NP.

Antwoord

B · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
3.Datastructuren

Antwoord: D · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

D · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.Datastructuren

Antwoord: A · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

Waarom dit het antwoord is

Heapsort bouwt een max-heap en haalt binnen dezelfde array n keer het maximum eruit; verwisselingen over grote afstanden kunnen gelijke sleutels van volgorde veranderen.

Antwoord

A · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

C, D, E, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 16

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2
B (2): C: 7, D: 17, G: 14
C (7): E: 8
E (8): F: 16, G: 9
G (9): D: 14
D (14)
F (16)

Kortste pad

A → B → C → E → F
d(F) = 16

Antwoord

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms