Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom levert dynamisch programmeren geen echte versnelling op voor mergesort?

  1. ADe deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
  2. BMergesort heeft geen recursieve structuur
  3. CMergesort is al O(n)
  4. DDynamisch programmeren werkt alleen op grafenproblemen, niet op arrays
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe pivot uniform willekeurig kiezen
  2. BAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  3. CDe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  4. DAltijd het eerste element kiezen
3.DatastructurenGemiddeld

Een queue wordt geïmplementeerd met twee stacks: push op een "in"-stack en pop van een "out"-stack, die vanuit "in" wordt bijgevuld als hij leeg is. Wat zijn de geamortiseerde kosten per bewerking?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.DatastructurenMoeilijk

In een circulaire buffer kan front == rear zowel leeg als vol betekenen. Wat is een gangbare manier om ze te onderscheiden?

  1. ASla front en rear op in dezelfde variabele
  2. BHoud een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
  3. CMaak de buffer altijd leeg als front gelijk is aan rear, zodat de toestand leeg is
  4. DMaak de buffergrootte een macht van twee
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
2117512731ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

Waarom dit het antwoord is

De helften van mergesort zijn disjunct en worden elk één keer opgelost; DP helpt alleen als deelproblemen terugkomen, zoals bij Fibonacci.

Antwoord

A · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

A · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Elk element wordt in totaal hoogstens twee keer gepusht en gepopt, dus hoewel één keer bijvullen O(n) kan kosten, is het gemiddelde over een reeks O(1).

Antwoord

D · O(1)
4.Datastructuren

Antwoord: B · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt

Waarom dit het antwoord is

Met een teller betekent leeg count = 0 en vol count = capaciteit; met één lege plaats wordt vol gedefinieerd als (rear + 1) mod n == front.

Antwoord

B · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

B, F → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 6

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2
B (2): C: 13, D: 9, E: 3
E (3): C: 8, F: 6
F (6)
C (8)
D (9)

Kortste pad

A → B → E → F
d(F) = 6

Antwoord

d(F) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms