Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  2. BHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  3. CElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  4. DEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom geeft binair zoeken op een enkelvoudig gelinkte lijst geen O(log n) tijd?

  1. AGelinkte lijsten kunnen niet worden gesorteerd
  2. BVergelijkingen op knopen van een gelinkte lijst zijn trager
  3. CBinair zoeken heeft minstens twee keer zoveel geheugen nodig
  4. DHet middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt diepte-eerst zoeken (DFS) in de iteratieve versie?

  1. AEen heap
  2. BEen stack
  3. CAlleen een hashtabel
  4. DEen queue
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe slaan data ongesorteerd op
  2. BZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  3. CZe hebben geen herbalancering nodig
  4. DHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
15618313101219ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

D · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is

Waarom dit het antwoord is

Binair zoeken heeft O(1)-toegang tot het midden nodig; in een gelinkte lijst kost het lopen daarheen lineaire tijd, dus het totaal is O(n).

Antwoord

D · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een stack

Waarom dit het antwoord is

DFS gaat zo diep mogelijk en gebruikt daardoor vanzelf een stack (of de call stack van de recursie); BFS gebruikt een queue.

Antwoord

B · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 17

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 39 = 2(L + 12) − 2
L = 17

Antwoord

L = 17

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant DF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. CE (3)
2. BC (6)
3. DF (10)
4. EF (12)
5. AB (15)

kantnummer 3

DF

Antwoord

kant DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms