Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de worst-case tijdcomplexiteit van quicksort?

AO(n log n)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Strassen vermenigvuldigt matrices met 7 in plaats van 8 recursieve vermenigvuldigingen van blokken van halve grootte. Wat is de looptijd?

AΘ(n³)
BΘ(n^{log₂ 7}), ongeveer n^2,81
CΘ(n² log n)
DΘ(n²)

3.DatastructurenGemiddeld

Een binaire boom heeft wortel 1 met linkerkind 2 en rechterkind 3; knoop 2 heeft kinderen 4 (links) en 5 (rechts). Wat is de preorder-doorloop?

A1 2 3 4 5
B4 5 2 3 1
C4 2 5 1 3
D1 2 4 5 3

4.DatastructurenMoeilijk

Waarvoor wordt de union-findstructuur gebruikt in het algoritme van Kruskal voor de minimale opspannende boom?

ATijdens het zoeken de huidige afstand van elke knoop tot de bron opslaan
BControleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
CDe kanten op gewicht sorteren
DDe beginknoop kiezen

5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 32 × deg 2

L =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Met steeds slechte pivots (bijv. al gesorteerde invoer en het eerste element als pivot) zijn de partities ongebalanceerd, wat O(n²) geeft. Het gemiddelde geval is O(n log n).

Antwoord

B · O(n²)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Θ(n^{log₂ 7}), ongeveer n^2,81

Waarom dit het antwoord is

Met a = 7 en b = 2 domineert n^{log₂ 7} het O(n²)-optelwerk, wat ongeveer n^2,81 geeft.

Antwoord

B · Θ(n^{log₂ 7}), ongeveer n^2,81

3.Datastructuren

Antwoord: D · 1 2 4 5 3

Waarom dit het antwoord is

Preorder bezoekt 1, dan zijn linkersubboom (2, 4, 5), dan 3; de andere opties zijn inorder, postorder en level-order.

Antwoord

D · 1 2 4 5 3

4.Datastructuren

Antwoord: B · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

Waarom dit het antwoord is

Find vertelt of beide eindpunten in dezelfde component liggen; zo niet, dan wordt de kant toegevoegd en voegt union de componenten samen.

Antwoord

B · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

5.Grafentheorie

Antwoord: L = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 13 = 2(L + 5) − 2

L = 5

Antwoord

L = 5

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 18

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 8

B (8): C: 10, D: 15, E: 21

C (10): E: 17

D (15): F: 18

E (17)

F (18)

Kortste pad

A → B → D → F

d(F) = 18

Antwoord

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms