Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

  1. ANee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
  2. BJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
  3. CJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
  4. DNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zou er volgen als iemand een algoritme in polynomiale tijd vond voor één NP-volledig probleem?

  1. AElk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
  2. BAlle algoritmen met exponentiële tijd zouden meteen in lineaire tijd lopen
  3. CHet stopprobleem zou beslisbaar worden
  4. DAlleen dat ene probleem zou naar P verhuizen
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

  1. AVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
  2. BBezoek elk blad en vergelijk ze
  3. CVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
  4. DKijk alleen naar de wortel
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

  1. AB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
  2. BAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
  3. CB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
  4. DB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij D? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP

Waarom dit het antwoord is

Omdat heel NP in polynomiale tijd reduceert tot elk NP-volledig probleem, geeft een snel algoritme voor één ervan een snel algoritme voor alle.

Antwoord

A · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
3.Datastructuren

Antwoord: C · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

C · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.Datastructuren

Antwoord: B · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

B · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)DD = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms