Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoe bouwt het algoritme van Prim een minimale opspannende boom?

  1. AHet laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
  2. BHet sorteert alle kanten op gewicht en voegt elke kant toe, tenzij die een cykel in het bos zou vormen
  3. CHet verwijdert de duurste kant totdat er geen cykels meer zijn
  4. DHet voert breedte-eerst zoeken uit en houdt de BFS-boom over
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Als je beide eindpunten van elke kant in een maximale koppeling neemt, krijg je een knoopoverdekking. Hoe goed is deze overdekking?

  1. AHoogstens log n keer het minimum
  2. BHoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
  3. CVan onbekende kwaliteit vergeleken met het optimum
  4. DAltijd een minimale knoopoverdekking
3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

  1. AKwadratisch proberen (quadratic probing)
  2. BDubbel hashen (double hashing)
  3. CLineair proberen (linear probing)
  4. DSeparate chaining (ketenen)
4.DatastructurenMoeilijk

Je wilt voor elk element van een array het volgende grotere element rechts ervan vinden, in totaal O(n) tijd. Welke structuur helpt?

  1. AEen stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
  2. BEen binaire zoekboom die voor elk element opnieuw wordt opgebouwd
  3. CEen hashtabel van alle elementen
  4. DEen queue die elk paar elementen bevat
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
2511111113ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Prim, met een prioriteitswachtrij van kruisende kanten, loopt met een binaire heap in O(E log V).

Antwoord

A · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking

Waarom dit het antwoord is

De koppelingskanten delen geen knopen, dus het optimum heeft minstens één knoop per kant nodig, terwijl deze methode er twee neemt: een 2-benadering.

Antwoord

B · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
3.Datastructuren

Antwoord: D · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

D · Separate chaining (ketenen)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten

Waarom dit het antwoord is

Loop van links naar rechts, pop elk element op de stack dat kleiner is dan het huidige (het huidige element is hun antwoord) en push dan het huidige; elk element wordt hoogstens twee keer verplaatst.

Antwoord

A · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Oneven hoekpunten

B, C, D, E → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 4

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2
B (2): C: 7, D: 3, E: 5
D (3): F: 4
F (4)
E (5): C: 6
C (6)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 4

Antwoord

d(F) = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms