Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het algoritme van Bellman-Ford op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het zoeken naar een sleutel in een gebalanceerde binaire zoekboom?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom wordt verwijderen in een hashtabel met open adressering vaak gedaan met een "tombstone"-markering?

  1. AVerwijderde sleutels moeten om veiligheidsredenen voor altijd bewaard blijven, dus plekken kunnen nooit hergebruikt worden
  2. BHet leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
  3. CTombstones versnellen het hashen
  4. DHet maakt de tabel gesorteerd
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel wandelingen van lengte 2 gaan van A naar E? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(V × E)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V − 1 rondes relaxeert alle E kanten, wat O(VE) geeft; in ruil daarvoor kan het negatieve kantgewichten aan.

Antwoord

D · O(V × E)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

C · O(n)
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde boom heeft een hoogte van ongeveer log₂ n, dus een zoekactie volgt één pad van de wortel naar een blad.

Antwoord

D · O(log n)
4.Datastructuren

Antwoord: B · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken

Waarom dit het antwoord is

Als een verwijderde plek leeg zou worden, kunnen latere zoekacties te vroeg stoppen en sleutels missen die verderop in de probeerketen zijn geplaatst.

Antwoord

B · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 25

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 45 = 2(L + 11) − 2
L = 25

Antwoord

L = 25

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)AE = 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms