Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel stackruimte gebruikt een eenvoudige recursieve faculteitsfunctie fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is het verschil tussen een onbeslisbaar en een onhandelbaar probleem?

  1. AOnhandelbare problemen kunnen door geen enkel algoritme worden opgelost, terwijl onbeslisbare alleen exponentiële tijd nodig hebben
  2. BBeide betekenen dat het probleem helemaal geen algoritme heeft
  3. COnbeslisbare problemen zitten in NP, terwijl onhandelbare problemen in P zitten
  4. DEen onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AEén gesorteerde array van knopen
  2. BAdjacency list
  3. CEen binaire heap van kanten
  4. DAdjacency matrix
4.DatastructurenMoeilijk

Met welke structuur bereken je het maximum van elk venster van grootte k in een array in totaal O(n)?

  1. AEen enkelvoudig gekoppelde lijst van de elementen in het venster
  2. BEen gesorteerde array die door verschuiven wordt bijgewerkt
  3. CEen min-heap die voor elk venster opnieuw wordt opgebouwd
  4. DEen deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 15 hoekpunten en 20 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 15|E| = 20
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
818714413129314ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 6 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

De recursie gaat n aanroepen diep voordat er een terugkeert, en elke aanroep heeft een stackframe nodig, dus de functie gebruikt O(n) ruimte.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag

Waarom dit het antwoord is

Voor het stopprobleem bestaat helemaal geen algoritme; een NP-moeilijk probleem zoals TSP kan met brute force worden opgelost, alleen niet in een bekende polynomiale tijd.

Antwoord

D · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
3.Datastructuren

Antwoord: B · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

B · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde

Waarom dit het antwoord is

De voorkant van de deque is altijd het maximum van het venster; elke index gaat één keer de deque in en één keer eruit, dus het werk is lineair.

Antwoord

D · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 6

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

15 − 1 = 14

Te verwijderen kanten

k = 20 − 14 = 6

Antwoord

k = 6
6.Grafentheorie

Antwoord: F

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 8, C: 1
2. C (1): G: 10
3. B (8): D: 15
4. G (10): D: 13, E: 24
5. D (13): F: 17
6. F (17)
7. E (24)

ronde 6

F

Antwoord

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms