Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom is een opzoeking in een hashtabel gemiddeld O(1) maar in het slechtste geval O(n)?

  1. AArrays hebben O(n) toegang
  2. BSleutels moeten eerst gesorteerd worden
  3. CHashfuncties zijn traag
  4. DVeel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. A0,5
  2. B2
  3. C1
  4. DEr is geen maximum
4.DatastructurenMoeilijk

Het verwijderen van een knoop met twee kinderen uit een binaire zoekboom gebeurt meestal door:

  1. ADe hele subboom te verwijderen
  2. BHem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
  3. CDe deelboom eronder helemaal opnieuw op te bouwen en elke sleutel die erin zat opnieuw in te voegen
  4. DHem te verwisselen met de wortel
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 9 hoekpunten en 20 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 9|E| = 20
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
13415201491712ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste lus loopt ongeveer log₂ n keer voor elk van de n buitenste iteraties, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

C · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

Waarom dit het antwoord is

Met een goede hashfunctie en bezettingsgraad (load factor) blijven buckets gemiddeld kort; kwaadwillende of slechte hashing kan alle sleutels in één bucket stoppen.

Antwoord

D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.Datastructuren

Antwoord: C · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

C · 1
4.Datastructuren

Antwoord: B · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen

Waarom dit het antwoord is

De in-order-opvolger heeft hoogstens één kind, dus hij kan eenvoudig worden verwijderd nadat zijn sleutel naar de te verwijderen knoop is gekopieerd.

Antwoord

B · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

9 − 1 = 8

Te verwijderen kanten

k = 20 − 8 = 12

Antwoord

k = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 55

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (4): nemen
DF (9): nemen
BE (12): nemen
AB (13): nemen
CE (14): overslaan, sluit een cykel
BC (15): overslaan, sluit een cykel
EF (17): nemen

Totaal gewicht

W = 4 + 9 + 12 + 13 + 17 = 55

Antwoord

W = 55

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms