Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  2. BElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  3. CHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  4. DEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het 0/1-knapzakprobleem opgelost met dynamisch programmeren kost O(nW) tijd. Waarom heet dit pseudo-polynomiaal?

  1. AOmdat n altijd klein is
  2. BOmdat het algoritme gerandomiseerd is en de looptijd per invoer verschilt
  3. CW is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
  4. DOmdat het alleen werkt voor W = 0
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. A1
  2. B2
  3. CEr is geen maximum
  4. D0,5
4.DatastructurenMoeilijk

In de BST met wortel 50, linkersubboom 30 (kinderen 20, 40) en rechtersubboom 70 (kinderen 60, 80) wordt de wortel verwijderd met behulp van de inorder-opvolger. Welke sleutel wordt de nieuwe wortel?

  1. A80
  2. B70
  3. C40
  4. D60
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
215111620617ABCDE

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

D · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd

Waarom dit het antwoord is

De looptijd is polynomiaal in de waarde van W maar exponentieel in de lengte ervan (log W bits); het 0/1-knapzakprobleem is NP-volledig.

Antwoord

C · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
3.Datastructuren

Antwoord: A · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

A · 1
4.Datastructuren

Antwoord: D · 60

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop van de rechtersubboom is 60, dus 60 vervangt 50 en zijn oude positie wordt verwijderd; met de voorganger zou het 40 worden.

Antwoord

D · 60
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 21

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Antwoord

L = 21

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 35

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AB (2): nemen
DE (6): nemen
BC (11): nemen
AC (15): overslaan, sluit een cykel
BD (16): nemen

Totaal gewicht

W = 2 + 6 + 11 + 16 = 35

Antwoord

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms