Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for j = 1 to i: doe O(1) werk?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom is een opzoeking in een hashtabel gemiddeld O(1) maar in het slechtste geval O(n)?

  1. ASleutels moeten eerst gesorteerd worden
  2. BArrays hebben O(n) toegang
  3. CHashfuncties zijn traag
  4. DVeel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het zoeken naar een sleutel in een gebalanceerde binaire zoekboom?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
4.DatastructurenMoeilijk

Het algoritme van Kahn voor topologisch sorteren verwijdert herhaaldelijk knopen met ingraad 0. Welke structuur bevat die knopen?

  1. AEen adjacency matrix die bijhoudt welke knopen al zijn verwijderd
  2. BEen stack van alle bezochte kanten
  3. CEen queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
  4. DEen max-heap geordend op uitgraad
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 3 gaan van E naar C? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste body wordt in totaal n(n + 1) / 2 keer uitgevoerd, en dat is nog steeds kwadratisch.

Antwoord

D · O(n²)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

Waarom dit het antwoord is

Met een goede hashfunctie en bezettingsgraad (load factor) blijven buckets gemiddeld kort; kwaadwillende of slechte hashing kan alle sleutels in één bucket stoppen.

Antwoord

D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.Datastructuren

Antwoord: A · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde boom heeft een hoogte van ongeveer log₂ n, dus een zoekactie volgt één pad van de wortel naar een blad.

Antwoord

A · O(log n)
4.Datastructuren

Antwoord: C · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0

Waarom dit het antwoord is

Klare knopen worden in een queue bewaard; het verwijderen van een knoop verlaagt de ingraad van zijn buren, en wie op 0 komt wordt toegevoegd, wat O(V + E) tijd geeft.

Antwoord

C · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 7

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Nog één stap

(M³)EC = 2·1 + 2·1 + 1·0 + 1·0 + 3·1 = 7

Antwoord

N = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms