Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe detecteert het algoritme van Bellman-Ford een cykel met negatief gewicht die vanuit de bron bereikbaar is?

  1. AHet telt de cykels met diepte-eerst zoeken
  2. BNa V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
  3. CHet voert het algoritme van Dijkstra twee keer uit en vergelijkt de twee afstandsresultaten
  4. DHet controleert of er een kant met negatief gewicht is
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de waarde van de postfixexpressie 3 4 + 2 * ?

  1. A24
  2. B14
  3. C11
  4. D10
4.DatastructurenMoeilijk

Een object wordt als sleutel in een hashmap opgeslagen, waarna een veld dat de hashfunctie gebruikt wordt gewijzigd. Wat is het waarschijnlijke gevolg?

  1. ADe map verplaatst de sleutel automatisch naar zijn nieuwe bucket
  2. BDe map geeft een fout op het moment dat het veld verandert
  3. CHet object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
  4. DEr verandert niets, omdat de hash van een sleutel maar één keer wordt berekend wanneer het programma start
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 12 hoekpunten en 17 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
8121061011771196ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

A · O(1)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd

Waarom dit het antwoord is

Alle echte kortste afstanden worden binnen V − 1 rondes gevonden; als een kant dan nog verbeterd kan worden, moet er een negatieve cykel bestaan.

Antwoord

B · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
3.Datastructuren

Antwoord: B · 14

Waarom dit het antwoord is

Push 3 en 4, + geeft 7; push 2, * geeft 7 × 2 = 14.

Antwoord

B · 14
4.Datastructuren

Antwoord: C · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

Waarom dit het antwoord is

De plaats van de sleutel werd gekozen op basis van zijn oude hash; met een nieuwe hash zoeken lookups in de verkeerde bucket, dus sleutels moeten onveranderlijk zijn.

Antwoord

C · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 6

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

12 − 1 = 11

Te verwijderen kanten

k = 17 − 11 = 6

Antwoord

k = 6
6.Grafentheorie

Antwoord: D

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 8, C: 12
2. B (8): D: 14, G: 15
3. C (12): E: 22
4. D (14): F: 25
5. G (15): E: 21
6. E (21)
7. F (25)

ronde 4

D

Antwoord

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms