Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. ABellman-Ford is in alle gevallen vereist
  2. BHet algoritme van Dijkstra
  3. CHet algoritme van Kruskal
  4. DDiepte-eerst zoeken (DFS)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Insertion sort loopt in O(n) op gesorteerde invoer. Is dit in tegenspraak met de ondergrens Ω(n log n) voor sorteren met vergelijkingen?

  1. AJa, maar alleen voor arrays korter dan 100
  2. BNee, omdat insertion sort geen sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen is
  3. CJa, de ondergrens is dus fout
  4. DNee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het zoeken naar een woord met lengte L in een trie met een vast alfabet?

  1. AO(L × n)
  2. BO(n), waarbij n het aantal woorden is
  3. CO(log n), waarbij n het aantal woorden is
  4. DO(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe slaan data ongesorteerd op
  2. BZe hebben geen herbalancering nodig
  3. CHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
  4. DZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
7339532112ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

B · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer

Waarom dit het antwoord is

De grens zegt dat elk sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen op een of andere invoer van grootte n ongeveer n log n vergelijkingen nodig heeft; speciale invoeren kunnen veel sneller zijn.

Antwoord

D · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen

Waarom dit het antwoord is

Elk teken kiest één kind, dus opzoeken kost L stappen, ongeacht hoeveel woorden de trie bevat.

Antwoord

D · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.Datastructuren

Antwoord: C · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

C · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 13

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 7, C: 3
C (3): B: 6, E: 8
B (6): D: 15
E (8): D: 11, F: 19
D (11): F: 13
F (13)

Kortste pad

A → C → E → D → F
d(F) = 13

Antwoord

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms