Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de worst-case tijdcomplexiteit van quicksort?

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het stopprobleem (halting problem) laat zien dat:

AGeen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
BSommige programma's sneller draaien op snellere computers, dus stoppen hangt van de hardware af
CLussen vermeden moeten worden
DElk programma uiteindelijk stopt

3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het om met een adjacency matrix te controleren of de kant (u, v) bestaat?

AO(log V)
BO(1)
CO(V)
DO(E)

4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

ADe wortel moet rood zijn
BRode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren
CElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
DElke knoop moet rood zijn

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₆? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₆

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Met steeds slechte pivots (bijv. al gesorteerde invoer en het eerste element als pivot) zijn de partities ongebalanceerd, wat O(n²) geeft. Het gemiddelde geval is O(n log n).

Antwoord

C · O(n²)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

Waarom dit het antwoord is

Turing toonde aan dat het stopprobleem onbeslisbaar is: aannemen dat er een beslisser bestaat, leidt tot een tegenspraak met een programma dat precies het tegenovergestelde doet.

Antwoord

A · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

3.Datastructuren

Antwoord: B · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Het matrixelement in rij u, kolom v vertelt je meteen of de kant bestaat; bij een adjacency list moet je mogelijk de buren van u doorzoeken.

Antwoord

B · O(1)

4.Datastructuren

Antwoord: C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 32

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 9

C (9): E: 18, G: 22

E (18): F: 32, G: 19

G (19): B: 27, D: 20

D (20)

B (27)

F (32)

Kortste pad

A → C → E → F

d(F) = 32

Antwoord

d(F) = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms