Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Kortste enkelvoudige paden kunnen in polynomiale tijd worden gevonden. Wat is bekend over het vinden van het langste enkelvoudige pad tussen twee knopen in een algemene graaf?

  1. AHet kan worden opgelost met het algoritme van Dijkstra met negatieve gewichten
  2. BHet is altijd oplosbaar in O(V + E)
  3. CHet is NP-moeilijk
  4. DHet is onbeslisbaar
3.DatastructurenGemiddeld

Welk abstract datatype gebruikt het algoritme van Dijkstra om de volgende te verwerken knoop te kiezen?

  1. AEen stack
  2. BEen min-prioriteitswachtrij
  3. CEen FIFO-queue
  4. DEen set zonder ordening
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe verbetert een radix tree (gecomprimeerde trie) een gewone trie?

  1. AHij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
  2. BHij sorteert de kinderen van elke knoop op frequentie
  3. CHij bewaart alleen de eerste letter van elk woord
  4. DHij slaat elk woord op in een hashtabel bij de wortel in plaats van in aparte knopen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 15 hoekpunten en 26 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 15|E| = 26
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij D? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Het aantal aanroepen verdubbelt per niveau en er zijn n niveaus, dus het totaal is ongeveer 2ⁿ, zoals bij de Torens van Hanoi.

Antwoord

C · O(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

Een langste enkelvoudig pad van lengte V − 1 is een hamiltonpad, een NP-volledig probleem; op gerichte acyclische grafen is het echter in lineaire tijd oplosbaar.

Antwoord

C · Het is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een min-prioriteitswachtrij

Waarom dit het antwoord is

Een min-prioriteitswachtrij, meestal een binaire heap, geeft efficiënt de onbezochte knoop met de kleinste afstand terug.

Antwoord

B · Een min-prioriteitswachtrij
4.Datastructuren

Antwoord: A · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label

Waarom dit het antwoord is

Het samenvoegen van paden zonder vertakking vermindert het aantal knopen en het geheugengebruik, terwijl zoeken op prefix mogelijk blijft.

Antwoord

A · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

15 − 1 = 14

Te verwijderen kanten

k = 26 − 14 = 12

Antwoord

k = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 3

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

Antwoord

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms