Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

In een gesorteerde array zoek je twee elementen die samen een doelwaarde opleveren door vanaf elk uiteinde een pointer naar binnen te bewegen. Wat is de tijdcomplexiteit?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de tijd- en ruimtekosten van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een lus die alleen de laatste twee waarden bewaart?

  1. AO(2ⁿ) tijd en O(1) ruimte
  2. BO(n) tijd en O(n) ruimte
  3. CO(log n) tijd en O(n) ruimte
  4. DO(n) tijd en O(1) ruimte
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

  1. AArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
  2. BEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
  3. CArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
  4. DGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
4.DatastructurenMoeilijk

De union-find-structuur (disjoint set) met union by rank en padcompressie heeft geamortiseerde kosten per bewerking van:

  1. AO(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is
  2. BPrecies O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K7? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K7
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
3176121916184ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt F. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4.

start: Fk = 4
  1. 1kant AC
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Is de som te klein, dan gaat de linkerpointer naar rechts; is ze te groot, dan gaat de rechterpointer naar links. Er zijn dus hoogstens n stappen.

Antwoord

A · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n) tijd en O(1) ruimte

Waarom dit het antwoord is

Elke stap heeft alleen de twee vorige waarden nodig, dus de tabel van de bottom-upmethode kan door twee variabelen worden vervangen.

Antwoord

D · O(n) tijd en O(1) ruimte
3.Datastructuren

Antwoord: A · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

A · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is

Waarom dit het antwoord is

Met beide optimalisaties kosten bewerkingen geamortiseerd O(α(n)) tijd; α(n) ≤ 4 voor elke realistische n.

Antwoord

A · O(α(n)), de inverse Ackermann-functie, die in de praktijk constant is
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360
6.Grafentheorie

Antwoord: kant CE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. DF (16)
2. BD (6)
3. BE (4)
4. CE (12)
5. AC (3)

kantnummer 4

CE

Antwoord

kant CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms