Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Met munten van 1, 3 en 4 en een bedrag van 6: hoeveel munten gebruikt de gulzige methode "grootste munt eerst", vergeleken met het optimum?

  1. AGulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2
  2. BGulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 3
  3. CGulzig gebruikt 4 munten; het optimum is 3
  4. DGulzig gebruikt 2 munten; het optimum is 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het 0/1-knapzakprobleem opgelost met dynamisch programmeren kost O(nW) tijd. Waarom heet dit pseudo-polynomiaal?

  1. AOmdat het algoritme gerandomiseerd is en de looptijd per invoer verschilt
  2. BOmdat n altijd klein is
  3. COmdat het alleen werkt voor W = 0
  4. DW is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
3.DatastructurenGemiddeld

Een circulaire buffer (ring buffer) wordt vaak gebruikt om het volgende te implementeren:

  1. AEen binaire zoekboom
  2. BEen hashfunctie
  3. CEen graafdoorloop
  4. DEen wachtrij met vaste grootte
4.DatastructurenMoeilijk

De sleutels 5, 3, 8, 1 worden in deze volgorde in een lege, op een array gebaseerde binaire min-heap ingevoegd. Wat is de uiteindelijke array?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 17 hoekpunten en 25 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 17|E| = 25
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 3 beginnen en eindigen bij A? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Gulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2

Waarom dit het antwoord is

Gulzig neemt 4 + 1 + 1 = 3 munten, maar 3 + 3 gebruikt er maar 2, dus gulzig is niet optimaal voor dit muntsysteem; dynamisch programmeren wel.

Antwoord

A · Gulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd

Waarom dit het antwoord is

De looptijd is polynomiaal in de waarde van W maar exponentieel in de lengte ervan (log W bits); het 0/1-knapzakprobleem is NP-volledig.

Antwoord

D · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een wachtrij met vaste grootte

Waarom dit het antwoord is

Een ringbuffer gebruikt head- en tail-indices die rondlopen, wat enqueue en dequeue in O(1) oplevert met vast geheugen.

Antwoord

D · Een wachtrij met vaste grootte
4.Datastructuren

Antwoord: A · [1, 3, 8, 5]

Waarom dit het antwoord is

Na 5, 3, 8 is de array [3, 5, 8]; 1 komt op index 3, wisselt met zijn ouder 5 en daarna met 3, wat [1, 3, 8, 5] geeft.

Antwoord

A · [1, 3, 8, 5]
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 9

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

17 − 1 = 16

Te verwijderen kanten

k = 25 − 16 = 9

Antwoord

k = 9
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Nog één stap

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 2·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms