Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat berekent het algoritme van Floyd-Warshall, en hoe snel?

  1. AEen minimale opspannende boom in O(E log V)
  2. BKortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
  3. CEen topologische ordening in O(V²)
  4. DKortste paden vanuit één bronknoop naar alle andere in O(V + E)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. AAltijd het eerste element kiezen
  2. BDe pivot uniform willekeurig kiezen
  3. CDe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  4. DAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

  1. AMatrices opslaan
  2. BGetallen sorteren
  3. CZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
  4. DKortste paden vinden
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel wandelingen van lengte 3 gaan van E naar A? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)

Waarom dit het antwoord is

Floyd-Warshall is een algoritme voor dynamisch programmeren dat elke knoop om de beurt als tussenpunt toestaat en O(V³) tijd gebruikt.

Antwoord

B · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

B · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: C · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

C · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

A · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

A, B, C, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Nog één stap

(M³)EA = 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 + 3·0 + 1·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms