Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat berekent het algoritme van Floyd-Warshall, en hoe snel?

  1. AKortste paden vanuit één bronknoop naar alle andere in O(V + E)
  2. BEen minimale opspannende boom in O(E log V)
  3. CKortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
  4. DEen topologische ordening in O(V²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welk algoritme vindt een minimaal opspannende boom door herhaaldelijk de goedkoopste kant toe te voegen die geen cyclus vormt?

  1. AHet algoritme van Prim vanuit één knoop
  2. BHet algoritme van Kruskal
  3. CHet algoritme van Dijkstra
  4. DFloyd-Warshall
3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

  1. AZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
  2. BGetallen sorteren
  3. CMatrices opslaan
  4. DKortste paden vinden
4.DatastructurenMoeilijk

Met welke structuur bereken je het maximum van elk venster van grootte k in een array in totaal O(n)?

  1. AEen enkelvoudig gekoppelde lijst van de elementen in het venster
  2. BEen deque met indices in afnemende volgorde van waarde
  3. CEen min-heap die voor elk venster opnieuw wordt opgebouwd
  4. DEen gesorteerde array die door verschuiven wordt bijgewerkt
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
127321386101211ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(D) van het kortste pad van A naar D in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: D
d(D) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)

Waarom dit het antwoord is

Floyd-Warshall is een algoritme voor dynamisch programmeren dat elke knoop om de beurt als tussenpunt toestaat en O(V³) tijd gebruikt.

Antwoord

C · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het algoritme van Kruskal

Waarom dit het antwoord is

Kruskal sorteert kanten op gewicht en voegt ze toe als ze verschillende componenten verbinden; Prim laat één boom groeien vanuit een startknoop.

Antwoord

B · Het algoritme van Kruskal
3.Datastructuren

Antwoord: A · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

A · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde

Waarom dit het antwoord is

De voorkant van de deque is altijd het maximum van het venster; elke index gaat één keer de deque in en één keer eruit, dus het werk is lineair.

Antwoord

B · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: d(D) = 12

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 12, C: 7
C (7): B: 10
B (10): D: 12, G: 20
D (12): E: 25, F: 20
F (20)
G (20)
E (25)

Kortste pad

A → C → B → D
d(D) = 12

Antwoord

d(D) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms