Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De tijdcomplexiteit van naïef recursief Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) is:

  1. ALogaritmisch
  2. BLineair
  3. CExponentieel
  4. DConstant
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat heeft de stelling van Cook-Levin vastgesteld?

  1. AHet booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
  2. BP is niet gelijk aan NP
  3. CHet stopprobleem is onbeslisbaar
  4. DElk NP-probleem kan in exponentiële tijd worden opgelost
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is het doel van een sentinelknoop (dummyknoop) in een gekoppelde lijst?

  1. ADe lijst gesorteerd maken
  2. BDe code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
  3. CHet aantal elementen opslaan
  4. DVoorkomen dat de lijst groeit voorbij een vast maximumaantal knopen
4.DatastructurenMoeilijk

Waarvoor wordt de union-findstructuur gebruikt in het algoritme van Kruskal voor de minimale opspannende boom?

  1. ADe beginknoop kiezen
  2. BControleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
  3. CTijdens het zoeken de huidige afstand van elke knoop tot de bron opslaan
  4. DDe kanten op gewicht sorteren
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
41311112275ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Exponentieel

Waarom dit het antwoord is

De aanroepboom groeit ongeveer als φⁿ (ongeveer 1,618ⁿ). Memoisatie brengt dit terug tot O(n).

Antwoord

C · Exponentieel
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig

Waarom dit het antwoord is

Cook en Levin lieten onafhankelijk van elkaar zien dat elk probleem in NP in polynomiale tijd reduceert tot SAT, zodat SAT het eerste bekende NP-volledige probleem was.

Antwoord

A · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
3.Datastructuren

Antwoord: B · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

Waarom dit het antwoord is

Met een sentinel heeft elke echte knoop een voorganger, dus invoegen of verwijderen aan de kop vraagt geen speciale behandeling.

Antwoord

B · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.Datastructuren

Antwoord: B · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

Waarom dit het antwoord is

Find vertelt of beide eindpunten in dezelfde component liggen; zo niet, dan wordt de kant toegevoegd en voegt union de componenten samen.

Antwoord

B · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: F

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): C: 4
2. C (4): B: 17, E: 5
3. E (5): D: 17, F: 12, B: 10
4. B (10)
5. F (12): D: 14
6. D (14)

ronde 5

F

Antwoord

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms