Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de looptijd van LSD-radix sort op n gehele getallen met d cijfers in grondtal k?

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(dn log k)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de looptijd van het algoritme van Dijkstra met een binaire heap op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³)
  3. CO(V + E)
  4. DO((V + E) log V)
3.DatastructurenGemiddeld

Een hashtabel van grootte 7 gebruikt h(k) = k mod 7 en linear probing. Waar wordt 17 opgeslagen nadat 10 is ingevoegd?

  1. AIndex 3
  2. BIndex 0
  3. CIndex 4
  4. DIndex 6
4.DatastructurenMoeilijk

Door het invoegen van een sleutel in een AVL-boom wordt de linkersubboom van een knoop te hoog, en de nieuwe sleutel kwam in de linkersubboom van zijn linkerkind (left-left-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen enkele linksrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  2. BHet opnieuw kleuren van de knoop en zijn kind
  3. CEen linksrotatie bij het kind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
  4. DEen enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1517111211156613ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(d(n + k))

Waarom dit het antwoord is

Elk van de d doorgangen is een counting sort die O(n + k) kost, dus voor vaste d en k is het totaal lineair in n.

Antwoord

B · O(d(n + k))
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O((V + E) log V)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn V extract-min- en hoogstens E decrease-keybewerkingen, elk O(log V); een Fibonacci-heap verbetert dit tot O(E + V log V).

Antwoord

D · O((V + E) log V)
3.Datastructuren

Antwoord: C · Index 4

Waarom dit het antwoord is

10 mod 7 = 3 en 17 mod 7 = 3; index 3 is bezet, dus linear probing probeert de volgende plaats, index 4.

Antwoord

C · Index 4
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop

Waarom dit het antwoord is

In het left-left-geval tilt één rechtsrotatie het linkerkind omhoog en herstelt de balans; zigzaggevallen vereisen een dubbele rotatie.

Antwoord

D · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: B

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 15, C: 1
2. C (1): B: 8, E: 12, G: 7
3. G (7): D: 13
4. B (8)
5. E (12)
6. D (13): F: 24
7. F (24)

ronde 4

B

Antwoord

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms