Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Quicksort gebruikt altijd het eerste element als pivot. Bij welke invoer vertoont het zijn worst-casegedrag?

  1. AEen array waarvan alle elementen verschillend zijn
  2. BEen array van lengte 2
  3. CEen array die al gesorteerd is
  4. DEen array in willekeurige volgorde
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het stopprobleem (halting problem) laat zien dat:

  1. AGeen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
  2. BElk programma uiteindelijk stopt
  3. CLussen vermeden moeten worden
  4. DSommige programma's sneller draaien op snellere computers, dus stoppen hangt van de hardware af
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel geheugen gebruikt een adjacency list voor een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke regel moeten hash en gelijkheid voldoen om een hashtabel correct te laten werken?

  1. AVerschillende sleutels moeten verschillende hashwaarden hebben
  2. BGelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
  3. CGelijke hashwaarden impliceren gelijke sleutels
  4. DHashwaarden moeten priemgetallen zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
491620181319103617ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Een array die al gesorteerd is

Waarom dit het antwoord is

Bij gesorteerde invoer is de pivot altijd het minimum, dus de ene kant is leeg en de andere heeft n − 1 elementen, wat O(n²) geeft.

Antwoord

C · Een array die al gesorteerd is
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

Waarom dit het antwoord is

Turing toonde aan dat het stopprobleem onbeslisbaar is: aannemen dat er een beslisser bestaat, leidt tot een tegenspraak met een programma dat precies het tegenovergestelde doet.

Antwoord

A · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
3.Datastructuren

Antwoord: C · O(V + E)

Waarom dit het antwoord is

Elke knoop heeft een lijst en elke kant komt één keer (gericht) of twee keer (ongericht) voor, wat O(V + E) geeft.

Antwoord

C · O(V + E)
4.Datastructuren

Antwoord: B · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben

Waarom dit het antwoord is

Als twee gelijke sleutels verschillend zouden hashen, zouden ze in verschillende buckets worden opgeslagen en zouden lookups mislukken; ongelijke sleutels mogen wel een hash delen.

Antwoord

B · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 4, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

A, B, D, E, F, G → 6
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 53

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

GB (3): nemen
AB (4): nemen
GC (6): nemen
AC (9): overslaan, sluit een cykel
EF (10): nemen
DE (13): nemen
BC (16): overslaan, sluit een cykel
GD (17): nemen

Totaal gewicht

W = 3 + 4 + 6 + 10 + 13 + 17 = 53

Antwoord

W = 53

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms