Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel niveaus heeft de recursie van mergesort voor een array van n elementen?

  1. AOngeveer n
  2. BOngeveer log₂ n
  3. COngeveer √n
  4. DOngeveer n / 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is het verschil tussen een onbeslisbaar en een onhandelbaar probleem?

  1. AOnbeslisbare problemen zitten in NP, terwijl onhandelbare problemen in P zitten
  2. BEen onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
  3. COnhandelbare problemen kunnen door geen enkel algoritme worden opgelost, terwijl onbeslisbare alleen exponentiële tijd nodig hebben
  4. DBeide betekenen dat het probleem helemaal geen algoritme heeft
3.DatastructurenGemiddeld

Een in-order-doorloop van een binaire zoekboom bezoekt de sleutels in:

  1. AVolgorde per niveau
  2. BInvoegvolgorde
  3. COplopend gesorteerde volgorde
  4. DAltijd aflopende volgorde
4.DatastructurenMoeilijk

In de BST met wortel 50, linkersubboom 30 (kinderen 20, 40) en rechtersubboom 70 (kinderen 60, 80) wordt de wortel verwijderd met behulp van de inorder-opvolger. Welke sleutel wordt de nieuwe wortel?

  1. A60
  2. B80
  3. C40
  4. D70
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 15 hoekpunten en 24 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 15|E| = 24
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
116112156129ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E
d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ongeveer log₂ n

Waarom dit het antwoord is

Halveren van n tot 1 kost ongeveer log₂ n niveaus, en elk niveau doet O(n) samenvoegwerk, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

B · Ongeveer log₂ n
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag

Waarom dit het antwoord is

Voor het stopprobleem bestaat helemaal geen algoritme; een NP-moeilijk probleem zoals TSP kan met brute force worden opgelost, alleen niet in een bekende polynomiale tijd.

Antwoord

B · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
3.Datastructuren

Antwoord: C · Oplopend gesorteerde volgorde

Waarom dit het antwoord is

Eerst de linkersubboom, dan de knoop en dan de rechtersubboom bezoeken levert de BST-sleutels in gesorteerde volgorde op.

Antwoord

C · Oplopend gesorteerde volgorde
4.Datastructuren

Antwoord: A · 60

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop van de rechtersubboom is 60, dus 60 vervangt 50 en zijn oude positie wordt verwijderd; met de voorganger zou het 40 worden.

Antwoord

A · 60
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 10

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

15 − 1 = 14

Te verwijderen kanten

k = 24 − 14 = 10

Antwoord

k = 10
6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 19

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11, C: 6
C (6): E: 21
B (11): D: 13, E: 20
D (13): E: 19, F: 25
E (19)
F (25)

Kortste pad

A → B → D → E
d(E) = 19

Antwoord

d(E) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms