Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(n) heeft als oplossing:

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de looptijd van het algoritme van Dijkstra met een binaire heap op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V³)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO((V + E) log V)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. A1
  2. Bn (hij wordt een gekoppelde lijst)
  3. Clog₂ n
  4. D√n
4.DatastructurenMoeilijk

Waarvoor wordt de union-findstructuur gebruikt in het algoritme van Kruskal voor de minimale opspannende boom?

  1. ATijdens het zoeken de huidige afstand van elke knoop tot de bron opslaan
  2. BDe beginknoop kiezen
  3. CControleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
  4. DDe kanten op gewicht sorteren
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K6? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K6
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
531391011652ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(G) van het kortste pad van A naar G in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: G
d(G) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema (a = 2, b = 2, f(n) = n) geldt T(n) = Θ(n log n).

Antwoord

C · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O((V + E) log V)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn V extract-min- en hoogstens E decrease-keybewerkingen, elk O(log V); een Fibonacci-heap verbetert dit tot O(E + V log V).

Antwoord

D · O((V + E) log V)
3.Datastructuren

Antwoord: B · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

B · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: C · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

Waarom dit het antwoord is

Find vertelt of beide eindpunten in dezelfde component liggen; zo niet, dan wordt de kant toegevoegd en voegt union de componenten samen.

Antwoord

C · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60
6.Grafentheorie

Antwoord: d(G) = 10

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 5
B (5): D: 8, G: 11
D (8): E: 17, F: 18, G: 10
G (10): C: 15
C (15)
E (17)
F (18)

Kortste pad

A → B → D → G
d(G) = 10

Antwoord

d(G) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms