Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het standaardalgoritme voor dynamisch programmeren voor de langste gemeenschappelijke deelrij van strings met lengte m en n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(mn)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Van welk van deze vervulbaarheidsproblemen is bekend dat het in polynomiale tijd oplosbaar is?

  1. AAlgemene SAT op formules in conjunctieve normaalvorm
  2. B2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
  3. C3-SAT, waarbij elke clausule precies drie literalen heeft
  4. DCircuitvervulbaarheid
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  2. BVerwijder het laatste element van de array
  3. CVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
  4. DZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
4.DatastructurenMoeilijk

Welke uitspraak over heapsort is juist?

  1. AHet sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
  2. BHet draait op elke invoer in O(n) tijd
  3. CHet is stabiel en heeft O(n) extra geheugen nodig
  4. DHet heeft een binaire zoekboom nodig als extra opslag, dus het gebruikt O(n) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 17 hoekpunten en 25 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 17|E| = 25
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 2 gaan van B naar C? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(mn)

Waarom dit het antwoord is

De tabel heeft (m + 1)(n + 1) cellen, en elke cel wordt in O(1) berekend uit zijn buren.

Antwoord

D · O(mn)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft

Waarom dit het antwoord is

2-SAT zit in P (lineaire tijd via sterk samenhangende componenten), terwijl 3-SAT NP-volledig is.

Antwoord

B · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.Datastructuren

Antwoord: A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

Waarom dit het antwoord is

Heapsort bouwt een max-heap en haalt binnen dezelfde array n keer het maximum eruit; verwisselingen over grote afstanden kunnen gelijke sleutels van volgorde veranderen.

Antwoord

A · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 9

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

17 − 1 = 16

Te verwijderen kanten

k = 25 − 16 = 9

Antwoord

k = 9
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)BC = 1·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms