Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom wordt het grondtal van een logaritme in grote-O-notatie meestal weggelaten, zoals in O(log n)?

  1. ALogaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
  2. BLogaritmen worden altijd afgerond op gehele getallen
  3. CAlle logaritmen in de informatica hebben grondtal 10, dus het is impliciet
  4. DHet grondtal doet er alleen toe voor kleine n
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe wordt het handelsreizigersprobleem geclassificeerd?

  1. AHet zit in P, omdat het algoritme van Dijkstra het oplost door elke stad één keer te bezoeken
  2. BDe beslissingsversie zit in P, maar de optimalisatieversie is NP-volledig
  3. CHet is onbeslisbaar
  4. DDe beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom kan een binaire heap zonder pointers in een array worden opgeslagen?

  1. AAlle sleutels in een heap zijn gelijk
  2. BHeaps bevatten nooit meer dan 100 elementen
  3. CHet is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
  4. DArrays houden sleutels automatisch gesorteerd, dus er zijn geen pointers nodig
4.DatastructurenMoeilijk

Het verwijderen van een knoop met twee kinderen uit een binaire zoekboom gebeurt meestal door:

  1. AHem te verwisselen met de wortel
  2. BHem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
  3. CDe deelboom eronder helemaal opnieuw op te bouwen en elke sleutel die erin zat opnieuw in te voegen
  4. DDe hele subboom te verwijderen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
11281411121481513ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

Waarom dit het antwoord is

Een ander grondtal vermenigvuldigt de logaritme met een constante, en grote O negeert constante factoren.

Antwoord

A · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

"Is er een route met lengte hoogstens k?" is NP-volledig; de kortste route vinden is NP-moeilijk, omdat dat minstens zo moeilijk is.

Antwoord

D · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: C · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules

Waarom dit het antwoord is

Compleetheid betekent dat er geen gaten zijn, dus de kinderen van index i staan altijd op 2i + 1 en 2i + 2.

Antwoord

C · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
4.Datastructuren

Antwoord: B · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen

Waarom dit het antwoord is

De in-order-opvolger heeft hoogstens één kind, dus hij kan eenvoudig worden verwijderd nadat zijn sleutel naar de te verwijderen knoop is gekopieerd.

Antwoord

B · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 15

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Antwoord

L = 15

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 38

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11, C: 2
C (2): B: 10, E: 13, G: 17
B (10): D: 24
E (13)
G (17)
D (24): F: 38
F (38)

Kortste pad

A → C → B → D → F
d(F) = 38

Antwoord

d(F) = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms