Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoe bouwt het algoritme van Prim een minimale opspannende boom?

AHet voert breedte-eerst zoeken uit en houdt de BFS-boom over
BHet verwijdert de duurste kant totdat er geen cykels meer zijn
CHet laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
DHet sorteert alle kanten op gewicht en voegt elke kant toe, tenzij die een cykel in het bos zou vormen

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het 0/1-knapzakprobleem opgelost met dynamisch programmeren kost O(nW) tijd. Waarom heet dit pseudo-polynomiaal?

AW is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
BOmdat n altijd klein is
COmdat het alleen werkt voor W = 0
DOmdat het algoritme gerandomiseerd is en de looptijd per invoer verschilt

3.DatastructurenGemiddeld

Een queue wordt geïmplementeerd met twee stacks: push op een "in"-stack en pop van een "out"-stack, die vanuit "in" wordt bijgevuld als hij leeg is. Wat zijn de geamortiseerde kosten per bewerking?

AO(1)
BO(log n)
CO(n²)
DO(n)

4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

ADe wortel moet rood zijn
BElke knoop moet rood zijn
CElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
DRode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₅? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₅

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(D) van het kortste pad van A naar D in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: D

d(D) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Prim, met een prioriteitswachtrij van kruisende kanten, loopt met een binaire heap in O(E log V).

Antwoord

C · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd

Waarom dit het antwoord is

De looptijd is polynomiaal in de waarde van W maar exponentieel in de lengte ervan (log W bits); het 0/1-knapzakprobleem is NP-volledig.

Antwoord

A · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd

3.Datastructuren

Antwoord: A · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Elk element wordt in totaal hoogstens twee keer gepusht en gepopt, dus hoewel één keer bijvullen O(n) kan kosten, is het gemiddelde over een reeks O(1).

Antwoord

A · O(1)

4.Datastructuren

Antwoord: C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwoord

H = 12

6.Grafentheorie

Antwoord: d(D) = 12

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 8, C: 5

C (5): E: 13

B (8): D: 12, G: 20

D (12)

E (13): F: 24

G (20)

F (24)

Kortste pad

A → B → D

d(D) = 12

Antwoord

d(D) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms