Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het algoritme van Bellman-Ford op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Zit 22n in O(2ⁿ)?

  1. ANee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
  2. BNee, want 22n groeit langzamer dan 2ⁿ
  3. CJa, want constante factoren in de exponent worden in grote O altijd genegeerd
  4. DJa, want beide zijn exponentieel
3.DatastructurenGemiddeld

Een circulaire buffer (ring buffer) wordt vaak gebruikt om het volgende te implementeren:

  1. AEen wachtrij met vaste grootte
  2. BEen binaire zoekboom
  3. CEen graafdoorloop
  4. DEen hashfunctie
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom zou een server zijn hashfunctie willekeurig kiezen uit een universele familie?

  1. AOm de hashtabel gesorteerd te maken
  2. BOm het vergroten van de tabel overbodig te maken
  3. COm het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
  4. DOm te garanderen dat geen twee sleutels ooit botsen, welke sleutels een aanvaller ook stuurt
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
3220147815615ABCDEFG

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt A. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2.

start: Ak = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant GB
  9. 9kant GD
  10. 10kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(V × E)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V − 1 rondes relaxeert alle E kanten, wat O(VE) geeft; in ruil daarvoor kan het negatieve kantgewichten aan.

Antwoord

A · O(V × E)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd

Waarom dit het antwoord is

Een constante die bij de exponent wordt opgeteld, geeft een constante factor, maar een constante die de exponent vermenigvuldigt, verandert het grondtal en de groeisnelheid.

Antwoord

A · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een wachtrij met vaste grootte

Waarom dit het antwoord is

Een ringbuffer gebruikt head- en tail-indices die rondlopen, wat enqueue en dequeue in O(1) oplevert met vast geheugen.

Antwoord

A · Een wachtrij met vaste grootte
4.Datastructuren

Antwoord: C · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen

Waarom dit het antwoord is

Bij universal hashing is het verwachte aantal botsingen voor elke verzameling sleutels klein, omdat de aanvaller niet weet welke functie is gekozen.

Antwoord

C · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

A, D → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant AB

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AC (2)
2. AB (3)
3. GB (5)
4. GD (6)
5. DE (7)
6. EF (1)

kantnummer 2

AB

Antwoord

kant AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms