Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat berekent het algoritme van Floyd-Warshall, en hoe snel?

  1. AEen topologische ordening in O(V²)
  2. BKortste paden vanuit één bronknoop naar alle andere in O(V + E)
  3. CKortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
  4. DEen minimale opspannende boom in O(E log V)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat moet je doen om aan te tonen dat een nieuw probleem X NP-moeilijk is?

  1. AEen bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
  2. BX in polynomiale tijd reduceren tot een bekend NP-moeilijk probleem
  3. CAantonen dat X in polynomiale tijd kan worden geverifieerd
  4. DAantonen dat X geen polynomiaal algoritme heeft voor kleine invoer
3.DatastructurenGemiddeld

Je hebt een verwijzing naar een knoop in het midden van een lijst. In welke lijst kun je die in O(1) verwijderen?

  1. AEen enkelvoudig gekoppelde lijst
  2. BEen gesorteerde array
  3. CEen dynamische array
  4. DEen dubbel gekoppelde lijst
4.DatastructurenMoeilijk

Waarvoor wordt de union-findstructuur gebruikt in het algoritme van Kruskal voor de minimale opspannende boom?

  1. ADe kanten op gewicht sorteren
  2. BTijdens het zoeken de huidige afstand van elke knoop tot de bron opslaan
  3. CDe beginknoop kiezen
  4. DControleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
138121511114ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E
d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)

Waarom dit het antwoord is

Floyd-Warshall is een algoritme voor dynamisch programmeren dat elke knoop om de beurt als tussenpunt toestaat en O(V³) tijd gebruikt.

Antwoord

C · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X

Waarom dit het antwoord is

Als een bekend moeilijk probleem efficiënt in X kan worden omgezet, zou een snel algoritme voor X ook het bekende probleem oplossen.

Antwoord

A · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

Een dubbel gekoppelde knoop kent zijn voorganger, dus je kunt prev en next direct opnieuw koppelen; een enkelvoudig gekoppelde lijst moet de voorganger zoeken.

Antwoord

D · Een dubbel gekoppelde lijst
4.Datastructuren

Antwoord: D · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

Waarom dit het antwoord is

Find vertelt of beide eindpunten in dezelfde component liggen; zo niet, dan wordt de kant toegevoegd en voegt union de componenten samen.

Antwoord

D · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

A, B → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 23

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13
B (13): C: 21, D: 14, E: 27
D (14): F: 25
C (21): E: 23
E (23): F: 24
F (24)

Kortste pad

A → B → C → E
d(E) = 23

Antwoord

d(E) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms