Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

  1. AKies de activiteit die het vroegst begint
  2. BKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  3. CKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  4. DKies eerst de kortste activiteit
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de geamortiseerde kosten van het ophogen van een binaire teller, als één ophoging veel bits kan omzetten?

  1. AO(n) per ophoging
  2. BO(log n) per ophoging
  3. CO(1) per ophoging
  4. DO(n log n) per ophoging
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het zoeken naar een woord met lengte L in een trie met een vast alfabet?

  1. AO(log n), waarbij n het aantal woorden is
  2. BO(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
  3. CO(n), waarbij n het aantal woorden is
  4. DO(L × n)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke garantie geven de regels van een rood-zwartboom over de hoogte van een boom met n sleutels?

  1. ADe hoogte is hoogstens n / 2
  2. BDe hoogte is hoogstens log2 n + 1
  3. CDe hoogte is precies log2 n
  4. DDe hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
2021391161514ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

C · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(1) per ophoging

Waarom dit het antwoord is

Over n ophogingen wisselt bit i ongeveer n / 2ⁱ keer, dus het totaal is minder dan 2n bitwisselingen, gemiddeld O(1) per ophoging.

Antwoord

C · O(1) per ophoging
3.Datastructuren

Antwoord: B · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen

Waarom dit het antwoord is

Elk teken kiest één kind, dus opzoeken kost L stappen, ongeacht hoeveel woorden de trie bevat.

Antwoord

B · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.Datastructuren

Antwoord: D · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)

Waarom dit het antwoord is

Elk pad heeft hetzelfde aantal zwarte knopen en rode knopen kunnen niet naast elkaar liggen, dus het langste pad is hoogstens twee keer het kortste, wat hoogte O(log n) geeft.

Antwoord

D · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 40

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

CE (1): nemen
AC (2): nemen
BD (9): nemen
BC (13): nemen
BE (14): overslaan, sluit een cykel
DF (15): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 9 + 13 + 15 = 40

Antwoord

W = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms