Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat meet geamortiseerde analyse?

  1. ADe gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
  2. BDe kosten van een algoritme bij de beste invoer
  3. CDe verwachte kosten over willekeurige invoer
  4. DDe kosten van de ene duurste bewerking ergens in de reeks
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Van welk van deze vervulbaarheidsproblemen is bekend dat het in polynomiale tijd oplosbaar is?

  1. ACircuitvervulbaarheid
  2. BAlgemene SAT op formules in conjunctieve normaalvorm
  3. C2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
  4. D3-SAT, waarbij elke clausule precies drie literalen heeft
3.DatastructurenGemiddeld

Wat geldt voor de adjacency matrix van een ongerichte graaf?

  1. AZe is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
  2. BHaar hoofddiagonaal bevat altijd enen
  3. CElke rij heeft precies één 1
  4. DZe is altijd bovendriehoeks
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke regel moeten hash en gelijkheid voldoen om een hashtabel correct te laten werken?

  1. AVerschillende sleutels moeten verschillende hashwaarden hebben
  2. BGelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
  3. CGelijke hashwaarden impliceren gelijke sleutels
  4. DHashwaarden moeten priemgetallen zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
172018111314167ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen

Waarom dit het antwoord is

Geamortiseerde analyse spreidt de kosten van zeldzame dure bewerkingen over veel goedkope, wat een gegarandeerd gemiddelde geeft voor elke reeks.

Antwoord

A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft

Waarom dit het antwoord is

2-SAT zit in P (lineaire tijd via sterk samenhangende componenten), terwijl 3-SAT NP-volledig is.

Antwoord

C · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.Datastructuren

Antwoord: A · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal

Waarom dit het antwoord is

In een ongerichte graaf betekent kant {u, v} dat zowel M[u][v] als M[v][u] gezet zijn, dus de matrix is gelijk aan haar getransponeerde.

Antwoord

A · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
4.Datastructuren

Antwoord: B · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben

Waarom dit het antwoord is

Als twee gelijke sleutels verschillend zouden hashen, zouden ze in verschillende buckets worden opgeslagen en zouden lookups mislukken; ongelijke sleutels mogen wel een hash delen.

Antwoord

B · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. BE (7)
2. CE (11)
3. DE (13)
4. DF (14)
5. AB (17)

kantnummer 3

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms