Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Karatsuba-vermenigvuldiging voldoet aan T(n) = 3T(n/2) + O(n). Wat is de oplossing?

  1. AΘ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. Alog₂ n
  2. B√n
  3. Cn (hij wordt een gekoppelde lijst)
  4. D1
4.DatastructurenMoeilijk

Je moet uit een stroom van n getallen de k kleinste waarden bewaren met O(k) geheugen. Welke aanpak werkt in O(n log k) tijd?

  1. AEen gesorteerde array van alle n waarden
  2. BEen FIFO-queue van de laatste k waarden
  3. CEen min-heap met alle n waarden, waaruit aan het eind de k kleinste worden gehaald
  4. DEen max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
51081311418ABCDE

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste lus loopt ongeveer log₂ n keer voor elk van de n buitenste iteraties, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

A · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585

Waarom dit het antwoord is

Omdat log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, domineren volgens het mastertheorema de bladeren, wat beter is dan de O(n²) van de schoolmethode.

Antwoord

A · Θ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585
3.Datastructuren

Antwoord: C · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

C · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt

Waarom dit het antwoord is

De wortel van de max-heap is de grootste bewaarde waarde; elke kleinere nieuwe waarde vervangt die in O(log k), zodat de heap altijd de k kleinste tot nu toe bevat.

Antwoord

D · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

E, F → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 27

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

CE (1): nemen
AB (5): nemen
BC (8): nemen
AC (10): overslaan, sluit een cykel
BD (13): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 5 + 8 + 13 = 27

Antwoord

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms