Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het vermenigvuldigen van twee n × n-matrices met de standaard drievoudige lus?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n³)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom kan het algoritme van Dijkstra verkeerde resultaten geven als sommige kantgewichten negatief zijn?

  1. AHet raakt bij elke negatieve kant in een oneindige lus
  2. BNegatieve getallen kunnen niet in een prioriteitswachtrij worden opgeslagen
  3. CHet werkt alleen op ongerichte grafen
  4. DEen knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel geheugen gebruikt een adjacency list voor een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke garantie geven de regels van een rood-zwartboom over de hoogte van een boom met n sleutels?

  1. ADe hoogte is precies log2 n
  2. BDe hoogte is hoogstens log2 n + 1
  3. CDe hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
  4. DDe hoogte is hoogstens n / 2
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij C? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n³)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n² elementen en elk heeft n vermenigvuldigingen nodig, wat n³ bewerkingen geeft.

Antwoord

D · O(n³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven

Waarom dit het antwoord is

De gulzige stap rekent op niet-negatieve gewichten, zodat uitgehaalde afstanden definitief zijn; Bellman-Ford wordt gebruikt als gewichten negatief kunnen zijn.

Antwoord

D · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
3.Datastructuren

Antwoord: C · O(V + E)

Waarom dit het antwoord is

Elke knoop heeft een lijst en elke kant komt één keer (gericht) of twee keer (ongericht) voor, wat O(V + E) geeft.

Antwoord

C · O(V + E)
4.Datastructuren

Antwoord: C · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)

Waarom dit het antwoord is

Elk pad heeft hetzelfde aantal zwarte knopen en rode knopen kunnen niet naast elkaar liggen, dus het langste pad is hoogstens twee keer het kortste, wat hoogte O(log n) geeft.

Antwoord

C · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

B, C → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)CC = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms