Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het algoritme van Bellman-Ford op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke bewering over P en NP is juist?

  1. AEr is bewezen dat P ≠ NP
  2. BNP betekent "niet polynomiaal"
  3. COplossingen van NP-problemen kunnen niet snel worden geverifieerd
  4. DElk probleem in P zit ook in NP
3.DatastructurenGemiddeld

In een binaire min-heap die in een array is opgeslagen (index begint bij 0), staan de kinderen van de knoop op index i op:

  1. A2i en 2i + 1
  2. Bi + 1 en i + 2
  3. Ci/2 en i/2 + 1
  4. D2i + 1 en 2i + 2
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is de looptijd van breadth-first search op een graaf met V knopen die als adjacency matrix is opgeslagen?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V)
  4. DO(E log V)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 18 hoekpunten en 19 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 18|E| = 19
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
17191385141211ABCDEFG

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 6; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 6
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BD
  4. 4kant DE
  5. 5kant EF
  6. 6kant GB
  7. 7kant GC
  8. 8kant GD
  9. 9kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(V × E)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V − 1 rondes relaxeert alle E kanten, wat O(VE) geeft; in ruil daarvoor kan het negatieve kantgewichten aan.

Antwoord

B · O(V × E)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Elk probleem in P zit ook in NP

Waarom dit het antwoord is

P ⊆ NP: als je een probleem snel kunt oplossen, kun je een oplossing ook snel verifiëren. Of P = NP is nog een open vraag.

Antwoord

D · Elk probleem in P zit ook in NP
3.Datastructuren

Antwoord: D · 2i + 1 en 2i + 2

Waarom dit het antwoord is

Bij arrays met indexering vanaf 0 staat het linkerkind op 2i + 1, het rechterkind op 2i + 2 en de ouder op ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwoord

D · 2i + 1 en 2i + 2
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(V²)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V knopen doorzoekt een rij van V elementen, wat O(V²) geeft; met adjacency lists is BFS O(V + E).

Antwoord

B · O(V²)
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 2

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

18 − 1 = 17

Te verwijderen kanten

k = 19 − 17 = 2

Antwoord

k = 2
6.Grafentheorie

Antwoord: kant AB

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. GB (1)
2. GC (4)
3. EF (5)
4. DE (8)
5. GE (11)
6. AB (17)

kantnummer 6

AB

Antwoord

kant AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms