Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welk algoritme vindt een minimaal opspannende boom door herhaaldelijk de goedkoopste kant toe te voegen die geen cyclus vormt?

  1. AFloyd-Warshall
  2. BHet algoritme van Dijkstra
  3. CHet algoritme van Kruskal
  4. DHet algoritme van Prim vanuit één knoop
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. Dn (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke uitspraak over heapsort is juist?

  1. AHet sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
  2. BHet draait op elke invoer in O(n) tijd
  3. CHet heeft een binaire zoekboom nodig als extra opslag, dus het gebruikt O(n) extra geheugen
  4. DHet is stabiel en heeft O(n) extra geheugen nodig
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 18 hoekpunten en 20 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 18|E| = 20
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
129316101911ABCDE

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n niveaus met elk constant werk, zoals bij een recursieve som van een array.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het algoritme van Kruskal

Waarom dit het antwoord is

Kruskal sorteert kanten op gewicht en voegt ze toe als ze verschillende componenten verbinden; Prim laat één boom groeien vanuit een startknoop.

Antwoord

C · Het algoritme van Kruskal
3.Datastructuren

Antwoord: D · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

D · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

Waarom dit het antwoord is

Heapsort bouwt een max-heap en haalt binnen dezelfde array n keer het maximum eruit; verwisselingen over grote afstanden kunnen gelijke sleutels van volgorde veranderen.

Antwoord

A · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

18 − 1 = 17

Te verwijderen kanten

k = 20 − 17 = 3

Antwoord

k = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 38

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BC (3): nemen
AC (9): nemen
CE (10): nemen
BE (11): overslaan, sluit een cykel
AB (12): overslaan, sluit een cykel
BD (16): nemen

Totaal gewicht

W = 3 + 9 + 10 + 16 = 38

Antwoord

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms