Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Breedte-eerst zoeken (BFS) op een ongewogen graaf vindt:

  1. ADe minimaal opspannende boom
  2. BKortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
  3. CEen topologische volgorde in alle grafen
  4. DKortste paden in grafen met negatieve kantgewichten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Zit 22n in O(2ⁿ)?

  1. ANee, want 22n groeit langzamer dan 2ⁿ
  2. BJa, want constante factoren in de exponent worden in grote O altijd genegeerd
  3. CNee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
  4. DJa, want beide zijn exponentieel
3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

  1. AMatrices opslaan
  2. BKortste paden vinden
  3. CGetallen sorteren
  4. DZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.DatastructurenMoeilijk

De sleutels 5, 3, 8, 1 worden in deze volgorde in een lege, op een array gebaseerde binaire min-heap ingevoegd. Wat is de uiteindelijke array?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
111371719413ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop

Waarom dit het antwoord is

BFS bezoekt knopen in volgorde van afstand (in kanten) tot de bron en vindt daardoor kortste ongewogen paden in O(V + E).

Antwoord

B · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd

Waarom dit het antwoord is

Een constante die bij de exponent wordt opgeteld, geeft een constante factor, maar een constante die de exponent vermenigvuldigt, verandert het grondtal en de groeisnelheid.

Antwoord

C · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.Datastructuren

Antwoord: D · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

D · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.Datastructuren

Antwoord: A · [1, 3, 8, 5]

Waarom dit het antwoord is

Na 5, 3, 8 is de array [3, 5, 8]; 1 komt op index 3, wisselt met zijn ouder 5 en daarna met 3, wat [1, 3, 8, 5] geeft.

Antwoord

A · [1, 3, 8, 5]
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 28

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AB (1): nemen
BC (3): nemen
EF (4): nemen
BD (7): nemen
AC (11): overslaan, sluit een cykel
BE (13): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 3 + 4 + 7 + 13 = 28

Antwoord

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms