Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het standaardalgoritme voor dynamisch programmeren voor de langste gemeenschappelijke deelrij van strings met lengte m en n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe detecteert het algoritme van Bellman-Ford een cykel met negatief gewicht die vanuit de bron bereikbaar is?

  1. ANa V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
  2. BHet voert het algoritme van Dijkstra twee keer uit en vergelijkt de twee afstandsresultaten
  3. CHet telt de cykels met diepte-eerst zoeken
  4. DHet controleert of er een kant met negatief gewicht is
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt een draaiend programma om actieve functieaanroepen en hun lokale variabelen bij te houden?

  1. AEen hashtabel van functies
  2. BDe call stack
  3. CDe wachtrij van het heapgeheugen
  4. DEen binaire zoekboom van frames
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

  1. ASorteer de lijst en zoek naar duplicaten
  2. BTel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
  3. CVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
  4. DSla elke bezochte knoop op in een hash-set
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
161418111128ABCDE

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(mn)

Waarom dit het antwoord is

De tabel heeft (m + 1)(n + 1) cellen, en elke cel wordt in O(1) berekend uit zijn buren.

Antwoord

B · O(mn)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd

Waarom dit het antwoord is

Alle echte kortste afstanden worden binnen V − 1 rondes gevonden; als een kant dan nog verbeterd kan worden, moet er een negatieve cykel bestaan.

Antwoord

A · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
3.Datastructuren

Antwoord: B · De call stack

Waarom dit het antwoord is

Elke aanroep pusht een stackframe en elke return popt het, daarom wordt de meest recente aanroep als eerste afgerond.

Antwoord

B · De call stack
4.Datastructuren

Antwoord: C · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

C · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 34

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BD (1): nemen
BE (8): nemen
CE (11): nemen
DE (12): overslaan, sluit een cykel
AC (14): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 8 + 11 + 14 = 34

Antwoord

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms