Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

  1. AElk element moet minstens één keer worden vergeleken
  2. BElke vergelijking kost logaritmische tijd
  3. CBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
  4. DEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.DatastructurenGemiddeld

Een in-order-doorloop van een binaire zoekboom bezoekt de sleutels in:

  1. AOplopend gesorteerde volgorde
  2. BInvoegvolgorde
  3. CAltijd aflopende volgorde
  4. DVolgorde per niveau
4.DatastructurenMoeilijk

Een segmentboom (segment tree) wordt doorgaans gebruikt om:

  1. ADe kanten van een graaf op te slaan
  2. BBereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
  3. CEen stack te implementeren
  4. DStrings alfabetisch te sorteren door elk voorvoegsel in een aparte boomknoop op te slaan
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
18164791210ABCDE

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Het probleem halveert bij elke stap met constant werk per stap, dus er zijn ongeveer log₂ n stappen.

Antwoord

D · O(log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

D · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.Datastructuren

Antwoord: A · Oplopend gesorteerde volgorde

Waarom dit het antwoord is

Eerst de linkersubboom, dan de knoop en dan de rechtersubboom bezoeken levert de BST-sleutels in gesorteerde volgorde op.

Antwoord

A · Oplopend gesorteerde volgorde
4.Datastructuren

Antwoord: B · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden

Waarom dit het antwoord is

Een segmentboom slaat aggregaten voor intervallen op en ondersteunt bereikquery's en puntupdates in O(log n) tijd.

Antwoord

B · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 17

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

Antwoord

L = 17

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 36

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BC (4): nemen
BD (7): nemen
CE (9): nemen
BE (10): overslaan, sluit een cykel
DE (12): overslaan, sluit een cykel
AC (16): nemen

Totaal gewicht

W = 4 + 7 + 9 + 16 = 36

Antwoord

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms