Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het standaardalgoritme voor dynamisch programmeren voor de langste gemeenschappelijke deelrij van strings met lengte m en n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  2. BAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  3. CDe pivot uniform willekeurig kiezen
  4. DAltijd het eerste element kiezen
3.DatastructurenGemiddeld

Welke balansvoorwaarde handhaaft een AVL-boom in elke knoop?

  1. AElke knoop is rood of zwart gekleurd
  2. BDe hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
  3. CBeide subbomen van elke knoop bevatten precies hetzelfde aantal knopen
  4. DAlle bladeren liggen op precies dezelfde diepte
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom wordt verwijderen in een hashtabel met open adressering vaak gedaan met een "tombstone"-markering?

  1. AHet leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
  2. BHet maakt de tabel gesorteerd
  3. CTombstones versnellen het hashen
  4. DVerwijderde sleutels moeten om veiligheidsredenen voor altijd bewaard blijven, dus plekken kunnen nooit hergebruikt worden
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 3 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1101358121089ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(mn)

Waarom dit het antwoord is

De tabel heeft (m + 1)(n + 1) cellen, en elke cel wordt in O(1) berekend uit zijn buren.

Antwoord

D · O(mn)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

C · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: B · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

Waarom dit het antwoord is

De balansfactor (hoogte links − hoogte rechts) moet −1, 0 of 1 zijn; rotaties herstellen die na invoegen en verwijderen.

Antwoord

B · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
4.Datastructuren

Antwoord: A · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken

Waarom dit het antwoord is

Als een verwijderde plek leeg zou worden, kunnen latere zoekacties te vroeg stoppen en sleutels missen die verderop in de probeerketen zijn geplaatst.

Antwoord

A · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 21

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Antwoord

L = 21

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 22

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 10
B (1): D: 14, G: 11
C (10): E: 15
G (11)
D (14): F: 22
E (15)
F (22)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 22

Antwoord

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms