Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 87 °C wordt achtergelaten in een kamer van 20 °C. Na 20 min is de temperatuur 26 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T₀ = 87 °CT_a = 20 °CT(20) = 26 °C

k = min⁻¹

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 400 L water waarin 20 kg zout is opgelost. Pekel met 0,25 kg zout per liter stroomt in met 5 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Na hoeveel minuten t bevat de tank 44 kg zout?

V = 400 Lm₀ = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.IntegralenGemiddeld

Het gebied onder y = √(x) van x = 0 tot x = 4 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een paraboloïde).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 4

V =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = x² en y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(x), met x in radialen. Bereken f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 3x² + 4 in x = −1 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 3x² + 4x = −1

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀² e^−x² dx met de trapeziumregel met n = 5 stroken. Geef T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 2]n = 5

T =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Heun (verbeterde Euler) met h = 0,25 voor y′ = t − y, y(0) = −1 om y₂ ≈ y(0,5) te schatten.

y′ = t − yy(0) = −1h = 0,25

y₂ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,1206 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e^−20k = 6/67

Los op naar k

k = ln(67/6)/20 = 0,1206 min⁻¹

Antwoord

k = 0,1206 min⁻¹

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 28,53 min

Resultaat

m(t) = 100 + (−80)·e^−t/80

Los op naar t

e^−t/80 = (100 − 44)/(100 − 20) = 0,7

t = 80·ln(1,429) = 28,53 min

Antwoord

t = 28,53 min

3.Integralen

Antwoord: V = 25,13

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Schijfmethode

V = π∫₀⁴ x dx

Integreren

V = π·1·4²/2 = 25,13

Antwoord

V = 25,13

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

x² = 2x → x = 0, x = 2

Bovenste min onderste integreren

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1.5) = 1,104

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Invullen

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Antwoord

f′(1,5) = 1,104

6.Afgeleiden

Antwoord: b = 1

Punt en helling

f(−1) = 7

f′(x) = 6x → f′(−1) = −6

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − (−6)·(−1) = 1

Antwoord

b = 1

7.Numerieke methoden

Antwoord: T = 0,8811

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 0,4

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,852144 + 2·0,527292 + 2·0,236928 + 2·0,0773047 + 0,0183156 = 4,405653

Trapeziumregel

T = (0,4/2)·4,405653 = 0,8811

Antwoord

T = 0,8811

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₂ = −0,5

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Heun-stappen

y₁ = −1 + (0,25/2)(1 + 1) = −0,75

y₂ = −0,75 + (0,25/2)(1 + 1) = −0,5

Grafiek

y₂ = −0,5

Antwoord

y₂ = −0,5

De exacte waarde is y(0,5) = −0,5.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations