Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een blikje frisdrank van 3 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 25 °C gezet. Na 15 min is de temperatuur 17 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T₀ = 3 °CT_a = 25 °CT(15) = 17 °C

k = min⁻¹

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 400 L zuiver water. Pekel met 0,2 kg zout per liter stroomt in met 20 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 20 min in de tank?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₁^2,5 x·ln x dx.

∫₁^2,5 x ln x dx

I =

4.IntegralenMoeilijk

Het gebied tussen de lijn y = 2x en de parabool y = 2x² wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam.

y = 2xy = 2x²

V =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x³·e^2x. Bereken f′(1).

f(x) = x³·e^2xx = 1

f′(1) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 3x² − 5x + 4 in x = 2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 3x² − 5x + 4x = 2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀^1,5 1/(1 + x³) dx met de trapeziumregel met n = 4 stroken. Geef T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

T =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Los y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 op met de methode van Euler en stap h = 0,2 tot t = 1. De exacte oplossing is y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Bepaal de globale fout |E| = |y(1) − y₅|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2

|E| =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,06744 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e^−15k = -8/-22

Los op naar k

k = ln(-22/-8)/15 = 0,06744 min⁻¹

Antwoord

k = 0,06744 min⁻¹

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: m = 50,57 kg

Stel de vergelijking op

dm/dt = 20·0,2 − (20/400)·m = 4 − 0,05·m

Oplossen

De integrerende factor is e^rt/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.

m(t) = 80 + (−80)·e^−t/20

Vul t in

m(20) = 80 + (−80)·0,3679 = 50,57 kg

Antwoord

m = 50,57 kg

3.Integralen

Antwoord: I = 1,551

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitieve

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limieten

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Antwoord

I = 1,551

4.Integralen

Antwoord: V = 1,676

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Snijpunten

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Ringmethode

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

Integreren

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

Antwoord

V = 1,676

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = 36,95

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Invullen

f′(1) = 7,389·(3 + 2) = 36,95

Antwoord

f′(1) = 36,95

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −8

Punt en helling

f(2) = 6

f′(x) = 6x − 5 → f′(2) = 7

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 7·2 = −8

Antwoord

b = −8

7.Numerieke methoden

Antwoord: T = 1,005

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,949907 + 2·0,703297 + 2·0,412571 + 0,228571 = 5,36012

Trapeziumregel

T = (0,375/2)·5,36012 = 1,005

Antwoord

T = 1,005

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

8.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,01276

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₅ = 1,409713

Exacte waarde

y(1) = 1,422469

Globale fout

|E| = |1,422469 − 1,409713| = 0,01276

Grafiek

Antwoord

|E| = 0,01276

Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations