Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 83 °C wordt achtergelaten in een kamer van 19 °C. Na 6 min is de temperatuur 50 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 35 °C te bereiken?

T₀ = 83 °CT_a = 19 °CT(6) = 50 °CT = 35 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal de piekwaarde y_max van zijn staprespons.

y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (2x − 3)⁵. Bereken f′(2).

f(x) = (2x − 3)⁵x = 2

f′(2) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = −x² + 2x − 5 in x = 2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = −x² + 2x − 5x = 2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫₀¹ sin x dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [0, 1]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,0001 garandeert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001

n =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,5 voor y′ = cos t − y, y(0) = 2. Bepaal y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5

y₁ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 11,47 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(64/31)/6 = 0,1208 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(64/16)/0,1208 = 11,47 min

Antwoord

t = 11,47 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y_max = 2,19

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Stationaire waarde en wortels

y_ss = 2, r = −1,5 ± 2j

Constanten uit de beginwaarden

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1,5A + 2B = 0 → B = −1,5

Piek

t = π/2 = 1,571

y_max = 2·(1 + e^−1,5·π/2) = 2,19

Antwoord

y_max = 2,19

3.Integralen

Antwoord: I = 0,9502

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = e^−x/(−1)

Grenzen invullen

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Antwoord

I = 0,9502

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = 10

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 5·(2x − 3)⁴·2

Invullen

f′(2) = 5·1⁴·2 = 10

Antwoord

f′(2) = 10

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −1

Punt en helling

f(2) = −5

f′(x) = −2x + 2 → f′(2) = −2

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − (−2)·2 = −1

Antwoord

b = −1

7.Numerieke methoden

Antwoord: n = 27

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Grens op de tweede afgeleide

M = sin 1 = 0,8415

n oplossen

n² > 1·0,8415/(12·0,0001) = 701,2

n > 26,48 → n = 27

Antwoord

n = 27

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₁ = 1,588

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Vier hellingen

k₁ = f(0, 2) = −1

k₂ = f(0,25, 1,75) = −0,781088

k₃ = f(0,25, 1,804728) = −0,835816

k₄ = f(0,5, 1,582092) = −0,70451

Combineer

y₁ = 2 + (0,5/6)(−1 + 2·−0,781088 + 2·−0,835816 − 0,70451) = 1,588

Antwoord

y₁ = 1,588

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations