Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 88 °C wordt achtergelaten in een kamer van 18 °C. Na 7 min is de temperatuur 48 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T₀ = 88 °CT_a = 18 °CT(7) = 48 °C

k = min⁻¹

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(0,75); hoeken in radialen.

y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₂⁸ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 8]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = x² en y = x.

y = x²y = x

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = x² − 4x + 6 in x = 1 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = x² − 4x + 6x = 1

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀¹ sin x dx met de trapeziumregel, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Heun (verbeterde Euler) met h = 0,25 voor y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 om y₃ ≈ y(0,75) te schatten.

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,25

y₃ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,121 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e^−7k = 30/70

Los op naar k

k = ln(70/30)/7 = 0,121 min⁻¹

Antwoord

k = 0,121 min⁻¹

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(0.75) = 5,388

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Stationaire waarde en wortels

y_ss = 5, r = −1,5 ± 3j

Constanten uit de beginwaarden

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 3B = 0 → B = −2,5

Bereken

y(0,75) = 5·(1 − e^−1,125(cos 2,25 + 0,5·sin 2,25)) = 5,388

Antwoord

y(0,75) = 5,388

3.Integralen

Antwoord: I = 1,386

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = ln x

Grenzen invullen

I = (ln 8 − ln 2) = ln 4 = 1,386

Antwoord

I = 1,386

4.Integralen

Antwoord: A = 0,1667

Snijpunten

x² = x → x = 0, x = 1

Bovenste min onderste integreren

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Antwoord

A = 0,1667

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(0.5) = 1,382

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Invullen

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Antwoord

f′(0,5) = 1,382

6.Afgeleiden

Antwoord: b = 5

Punt en helling

f(1) = 3

f′(x) = 2x − 4 → f′(1) = −2

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − (−2)·1 = 5

Antwoord

b = 5

7.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,009617

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Exacte waarde

I = 0,459698

Trapeziumregel

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,479426 + 0,841471) = 0,450081

Fout

|E| = |0,450081 − 0,459698| = 0,009617

Antwoord

|E| = 0,009617

Relatieve fout: 2,092%.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₃ = 0,7

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Heun-stappen

y₁ = 0,5 + (0,25/2)(0,5 + 0,343912) = 0,605489

y₂ = 0,605489 + (0,25/2)(0,363423 + 0,181238) = 0,673572

y₃ = 0,673572 + (0,25/2)(0,204011 + 0,00711447) = 0,699962

Grafiek

y₃ = 0,7

Antwoord

y₃ = 0,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations