Differentiaalvergelijkingen
- Exponentiële groei/afname
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Halveringstijd
- k = ln 2 / t½
- Afkoelingswet van Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Integrerende factor
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Mengtank
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Integralen
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Methode
- Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
- Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
- Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
- Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Afgeleiden
- Machtsregel
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Productregel
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quotiëntregel
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Kettingregel
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Standaardafgeleiden
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Methode
- Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
- Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
- Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
- Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Numerieke methoden
- Bisectie
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Lineaire interpolatie
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Trapeziumregel
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Regel van Simpson (n even)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Foutgrens trapeziumregel
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Methode
- Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
- Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
- Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
- Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
2Oefenopgaven
1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 8y′ + 16y = 0 op met y(0) = 3 en y′(0) = 1. Bepaal y(2).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(2) =
2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Los y″ + y′ + 4,25y = 0 op met y(0) = 5 en y′(0) = 0 (losgelaten uit rust). Bepaal y(1,5); hoeken in radialen.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
3.IntegralenGemiddeld
Het gebied onder y = √(4x) van x = 0 tot x = 1 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een paraboloïde).
y = √(4x)0 ≤ x ≤ 1
V =
4.IntegralenMoeilijk
Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 4 − x² en de x-as.
y = 4 − x²
A =
5.AfgeleidenGemiddeld
Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(1).
f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
6.AfgeleidenMoeilijk
Gegeven f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 2. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.
f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 2
x =
7.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01 eˣ dx met de regel van Simpson, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |S − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
8.Numerieke methodenMoeilijk
Los y′ = y − t², y(0) = 3 op met de methode van Euler en stap h = 0,25 tot t = 1. De exacte oplossing is y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bepaal de globale fout |E| = |y(1) − y4|.
y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,25
|E| =
3Oplossingen
1.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(2) = 0,009728
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Dubbele wortel
(r + 4)² = 0 → r = −4
Constanten
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 4A → B = 1 + 12 = 13
Bereken
y(2) = (3 + 13·2)·e−8 = 0,009728
Antwoord
y(2) = 0,009728
2.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1.5) = −2,255
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Complexe wortels
r = −0,5 ± 2j
Constanten
A = 5, B = 0,5·5/2 = 1,25
Bereken
y(1,5) = e−0,75(5·cos 3 + 1,25·sin 3) = −2,255
Antwoord
y(1,5) = −2,255
3.Integralen
Antwoord: V = 6,283
Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.
Schijfmethode
V = π∫₀1 4x dx
Integreren
V = π·4·1²/2 = 6,283
Antwoord
V = 6,283
4.Integralen
Antwoord: A = 10,67
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Nulpunten
4 − x² = 0 → x = ±2
Integreren
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Antwoord
A = 10,67
5.Afgeleiden
Antwoord: f′(1) = 0,077
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Product- en kettingregel
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
Invullen
f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077
Antwoord
f′(1) = 0,077
6.Afgeleiden
Antwoord: x = 3
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Afgeleide
f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3·(x2 − 4x + 3)
f′(x) = 0 oplossen
x = 1 of x = 3
Welke is welke
f″(x) = 6x − 12: negatief in een maximum, positief in een minimum.
f″(1) = −6, f″(3) = 6
x = 3
Antwoord
x = 3
7.Numerieke methoden
Antwoord: |E| = 0,0005793
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Exacte waarde
I = 1,718282
Regel van Simpson
S = (0,5/3)·(1 + 4·1,648721 + 2,718282) = 1,718861
Fout
|E| = |1,718861 − 1,718282| = 0,0005793
Antwoord
|E| = 0,0005793
Relatieve fout: 0,03372%.
8.Numerieke methoden
Antwoord: |E| = 0,6372
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y4 = 7,081055
Exacte waarde
y(1) = 7,718282
Globale fout
|E| = |7,718282 − 7,081055| = 0,6372
Grafiek
Antwoord
|E| = 0,6372
Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations