Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 94 °C wordt achtergelaten in een kamer van 18 °C. Na 29 min is de temperatuur 25 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 73 °C te bereiken?

T₀ = 94 °CT_a = 18 °CT(29) = 25 °CT = 73 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los het beginwaardeprobleem y′ + y/x = 5 op voor x > 0, met y(1) = 3. Bereken y(3).

y′ + y/x = 5y(1) = 3

y(3) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = ln(2x² + 4). Bereken f′(3).

f(x) = ln(2x² + 4)x = 3

f′(3) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 2x² + 3x + 6 in x = 2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 2x² + 3x + 6x = 2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₁² 1/x dx met de trapeziumregel, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2

|E| =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,2 voor y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1. Bepaal y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 3,933 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(76/7)/29 = 0,08224 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(76/55)/0,08224 = 3,933 min

Antwoord

t = 3,933 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(3) = 7,667

Integrerende factor

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integreren

(x¹y)′ = 5x → x¹y = 5x²/2 + C

Beginvoorwaarde

3 = 5/2 + C → C = 0,5

Bereken

y(3) = (5·3²/2 + 0,5)/3¹ = 7,667

Antwoord

y(3) = 7,667

3.Integralen

Antwoord: I = 14,12

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitieve

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limieten

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Antwoord

I = 14,12

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(3) = 0,5455

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel voor de logaritme

f′(x) = 4x/(2x² + 4)

Invullen

f′(3) = 12/22 = 0,5455

Antwoord

f′(3) = 0,5455

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −2

Punt en helling

f(2) = 20

f′(x) = 4x + 3 → f′(2) = 11

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 20 − 11·2 = −2

Antwoord

b = −2

7.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,01519

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Exacte waarde

I = 0,693147

Trapeziumregel

T = (0,5/2)·(1 + 2·0,666667 + 0,5) = 0,708333

Fout

|E| = |0,708333 − 0,693147| = 0,01519

Antwoord

|E| = 0,01519

Relatieve fout: 2,191%.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₁ = 1,223

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Vier hellingen

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 1,109778

k₃ = f(0,1, 1,110978) = 1,110869

k₄ = f(0,2, 1,222174) = 1,242008

Combineer

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·1,109778 + 2·1,110869 + 1,242008) = 1,223

Antwoord

y₁ = 1,223

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations