Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Los y″ + 7y′ + 12y = 0 op met y(0) = 5 en y′(0) = -2. Bepaal y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1) =

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los y″ + 3y′ + 11,25y = 0 op met y(0) = 10 en y′(0) = 0 (losgelaten uit rust). Bepaal y(1,5); hoeken in radialen.

y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₂⁴ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 4]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (3x + 1)³. Bereken f′(2).

f(x) = (3x + 1)³x = 2

f′(2) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = x² − 5x in x = 2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = x² − 5xx = 2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫₁³ 1/x dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [1, 3]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,0001 garandeert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0001

n =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,5 voor y′ = cos t − y, y(0) = 1. Bepaal y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,5

y₁ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1) = 0,6581

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Karakteristieke wortels

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Constanten uit de beginwaarden

A + B = 5, −3A − 4B = -2

A = 18, B = −13

Bereken

y(1) = 18·e⁻³ + (−13)·e⁻⁴ = 0,6581

Antwoord

y(1) = 0,6581

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1.5) = −0,7373

Complexe wortels

r = −1,5 ± 3j

Constanten

A = 10, B = 1,5·10/3 = 5

Bereken

y(1,5) = e^−2,25(10·cos 4,5 + 5·sin 4,5) = −0,7373

Antwoord

y(1,5) = −0,7373

3.Integralen

Antwoord: I = 0,6931

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = ln x

Grenzen invullen

I = (ln 4 − ln 2) = ln 2 = 0,6931

Antwoord

I = 0,6931

4.Integralen

Antwoord: I = 12,78

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Eerste ronde

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Tweede ronde

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limieten

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Antwoord

I = 12,78

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = 441

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 3·(3x + 1)²·3

Invullen

f′(2) = 3·7²·3 = 441

Antwoord

f′(2) = 441

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −4

Punt en helling

f(2) = −6

f′(x) = 2x − 5 → f′(2) = −1

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − (−1)·2 = −4

Antwoord

b = −4

7.Numerieke methoden

Antwoord: n = 116

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Grens op de tweede afgeleide

M = 2/1³ = 2

n oplossen

n² > 8·2/(12·0,0001) = 13333

n > 115,5 → n = 116

Antwoord

n = 116

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₁ = 0,9817

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Vier hellingen

k₁ = f(0, 1) = 0

k₂ = f(0,25, 1) = −0,0310876

k₃ = f(0,25, 0,992228) = −0,0233157

k₄ = f(0,5, 0,988342) = −0,11076

Combineer

y₁ = 1 + (0,5/6)(0 + 2·−0,0310876 + 2·−0,0233157 − 0,11076) = 0,9817

Antwoord

y₁ = 0,9817

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations