Differentiaalvergelijkingen
- Exponentiële groei/afname
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Halveringstijd
- k = ln 2 / t½
- Afkoelingswet van Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Integrerende factor
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Mengtank
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Integralen
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Methode
- Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
- Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
- Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
- Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Afgeleiden
- Machtsregel
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Productregel
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quotiëntregel
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Kettingregel
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Standaardafgeleiden
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Methode
- Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
- Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
- Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
- Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Numerieke methoden
- Bisectie
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Lineaire interpolatie
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Trapeziumregel
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Regel van Simpson (n even)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Foutgrens trapeziumregel
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Methode
- Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
- Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
- Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
- Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
2Oefenopgaven
1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 4y′ + 4y = 0 op met y(0) = 5 en y′(0) = 1. Bepaal y(0,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(0.5) =
2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + y′ + 25,25y = 50,5, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(1,5); hoeken in radialen.
y″ + y′ + 25,25y = 50,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3.IntegralenGemiddeld
Bereken I = ∫₀π/2 x·sin x dx (x in radialen).
∫₀π/2 x·sin x dx
I =
4.IntegralenMoeilijk
Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 4 − x² en de x-as.
y = 4 − x²
A =
5.AfgeleidenGemiddeld
Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(2).
f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
6.AfgeleidenMoeilijk
Gegeven f(x) = x3 − 12x2 + 45x. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.
f(x) = x3 − 12x2 + 45x
x =
7.Numerieke methodenGemiddeld
De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫12 1/x dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [1, 2]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,0005 garandeert.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0005
n =
8.Numerieke methodenMoeilijk
Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,2 voor y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Bepaal y₁ ≈ y(0,2).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =
3Oplossingen
1.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(0.5) = 3,863
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Dubbele wortel
(r + 2)² = 0 → r = −2
Constanten
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 2A → B = 1 + 10 = 11
Bereken
y(0,5) = (5 + 11·0,5)·e−1 = 3,863
Antwoord
y(0,5) = 3,863
2.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1.5) = 1,584
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Stationaire waarde en wortels
yss = 2, r = −0,5 ± 5j
Constanten uit de beginwaarden
y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,2
Bereken
y(1,5) = 2·(1 − e−0,75(cos 7,5 + 0,1·sin 7,5)) = 1,584
Antwoord
y(1,5) = 1,584
3.Integralen
Antwoord: I = 1
Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.
Kies u en dv
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
Primitieve
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
Limieten
(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1
Antwoord
I = 1
4.Integralen
Antwoord: A = 10,67
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Nulpunten
4 − x² = 0 → x = ±2
Integreren
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Antwoord
A = 10,67
5.Afgeleiden
Antwoord: f′(2) = −3,371
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Product- en kettingregel
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
Invullen
f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371
Antwoord
f′(2) = −3,371
6.Afgeleiden
Antwoord: x = 3
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Afgeleide
f′(x) = 3x2 − 24x + 45 = 3·(x2 − 8x + 15)
f′(x) = 0 oplossen
x = 3 of x = 5
Welke is welke
f″(x) = 6x − 24: negatief in een maximum, positief in een minimum.
f″(3) = −6, f″(5) = 6
x = 3
Antwoord
x = 3
7.Numerieke methoden
Antwoord: n = 19
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Grens op de tweede afgeleide
M = 2/1³ = 2
n oplossen
n² > 1·2/(12·0,0005) = 333,3
n > 18,26 → n = 19
Antwoord
n = 19
8.Numerieke methoden
Antwoord: y1 = 0,7128
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Vier hellingen
k₁ = f(0, 0,5) = 1
k₂ = f(0,1, 0,6) = 1,059964
k₃ = f(0,1, 0,605996) = 1,060563
k₄ = f(0,2, 0,712113) = 1,141942
Combineer
y₁ = 0,5 + (0,2/6)(1 + 2·1,059964 + 2·1,060563 + 1,141942) = 0,7128
Antwoord
y1 = 0,7128
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations