Differentiaalvergelijkingen
- Exponentiële groei/afname
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Halveringstijd
- k = ln 2 / t½
- Afkoelingswet van Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Integrerende factor
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Mengtank
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Integralen
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Methode
- Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
- Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
- Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
- Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Afgeleiden
- Machtsregel
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Productregel
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quotiëntregel
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Kettingregel
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Standaardafgeleiden
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Methode
- Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
- Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
- Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
- Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Numerieke methoden
- Bisectie
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Lineaire interpolatie
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Trapeziumregel
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Regel van Simpson (n even)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Foutgrens trapeziumregel
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Methode
- Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
- Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
- Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
- Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
2Oefenopgaven
1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een blikje frisdrank van 4 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 23 °C gezet. Na 15 min is de temperatuur 14 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 18 °C te bereiken?
T0 = 4 °CTa = 23 °CT(15) = 14 °CT = 18 °C
t = min
2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal de piekwaarde ymax van zijn staprespons.
y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3.IntegralenGemiddeld
Bereken I = ∫01 e−0,5x dx.
f(x) = e−0,5x[0, 1]
I =
4.IntegralenMoeilijk
Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 0,5x2 en y = x.
y = 0,5x2y = x
A =
5.AfgeleidenGemiddeld
Gegeven f(x) = (4x + 5)4. Bereken f′(−1).
f(x) = (4x + 5)4x = −1
f′(−1) =
6.AfgeleidenMoeilijk
Gegeven f(x) = x3 − 3x2 − 9x − 1. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.
f(x) = x3 − 3x2 − 9x − 1
x =
7.Numerieke methodenGemiddeld
De snelheid van een voertuig wordt elke 5 s gemeten (tabel). Schat de afgelegde afstand s van t = 0 tot t = 25 s met de trapeziumregel.
h = 5 sn = 5
s = m
8.Numerieke methodenMoeilijk
Los y′ = t + y, y(0) = 2 op met de methode van Euler en stap h = 0,2 tot t = 0,8. De exacte oplossing is y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bepaal de globale fout |E| = |y(0,8) − y4|.
y′ = t + yy(0) = 2h = 0,2
|E| =
3Oplossingen
1.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: t = 26,8 min
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Afkoelingsconstante
k = ln(-19/-9)/15 = 0,04981 min⁻¹
Tijd tot de doeltemperatuur
t = ln(-19/(−5))/0,04981 = 26,8 min
Antwoord
t = 26,8 min
2.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: ymax = 13,9
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Stationaire waarde en wortels
yss = 10, r = −1,5 ± 5j
Constanten uit de beginwaarden
y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −3
Piek
t = π/5 = 0,6283
ymax = 10·(1 + e−1,5·π/5) = 13,9
Antwoord
ymax = 13,9
3.Integralen
Antwoord: I = 0,7869
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Primitieve
F(x) = e−0,5x/(−0,5)
Grenzen invullen
I = (e−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869
Antwoord
I = 0,7869
4.Integralen
Antwoord: A = 0,6667
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Snijpunten
0,5x2 = x → x = 0, x = 2
Bovenste min onderste integreren
A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667
Antwoord
A = 0,6667
5.Afgeleiden
Antwoord: f′(−1) = 16
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Kettingregel
f′(x) = 4·(4x + 5)3·4
Invullen
f′(−1) = 4·13·4 = 16
Antwoord
f′(−1) = 16
6.Afgeleiden
Antwoord: x = 3
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Afgeleide
f′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3·(x2 − 2x − 3)
f′(x) = 0 oplossen
x = −1 of x = 3
Welke is welke
f″(x) = 6x − 6: negatief in een maximum, positief in een minimum.
f″(−1) = −12, f″(3) = 12
x = 3
Antwoord
x = 3
7.Numerieke methoden
Antwoord: s = 182,5 m
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Gewogen som
4 + 2·4 + 2·5 + 2·8 + 2·12 + 11 = 73
Trapeziumregel
s = (5/2)·73 = 182,5 m
Antwoord
s = 182,5 m
8.Numerieke methoden
Antwoord: |E| = 0,4558
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y4 = 4,4208
Exacte waarde
y(0,8) = 4,876623
Globale fout
|E| = |4,876623 − 4,4208| = 0,4558
Grafiek
Antwoord
|E| = 0,4558
Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations