Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een blikje frisdrank van 5 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 22 °C gezet. Na 6 min is de temperatuur 9 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 7 °C te bereiken?

T₀ = 5 °CT_a = 22 °CT(6) = 9 °CT = 7 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 200 L zuiver water. Pekel met 0,2 kg zout per liter stroomt in met 2 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 105 min in de tank?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀¹ x·sin x dx (x in radialen).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 9 − x² en de x-as.

y = 9 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = ln(x² + 1). Bereken f′(2).

f(x) = ln(x² + 1)x = 2

f′(2) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 0,5x² − 5x + 2 in x = 1 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 0,5x² − 5x + 2x = 1

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫₁³ 1/x dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [1, 3]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,0005 garandeert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0005

n =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,1 voor y′ = y − t², y(0) = 0,5 om y₅ ≈ y(0,5) te schatten.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,1

y₅ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 2,799 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(-17/-13)/6 = 0,04471 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(-17/(−15))/0,04471 = 2,799 min

Antwoord

t = 2,799 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: m = 26 kg

Stel de vergelijking op

dm/dt = 2·0,2 − (2/200)·m = 0,4 − 0,01·m

Oplossen

De integrerende factor is e^rt/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/100

Vul t in

m(105) = 40 + (−40)·0,3499 = 26 kg

Antwoord

m = 26 kg

3.Integralen

Antwoord: I = 0,3012

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitieve

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limieten

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Antwoord

I = 0,3012

4.Integralen

Antwoord: A = 36

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

9 − x² = 0 → x = ±3

Integreren

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Antwoord

A = 36

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = 0,8

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel voor de logaritme

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Invullen

f′(2) = 4/5 = 0,8

Antwoord

f′(2) = 0,8

6.Afgeleiden

Antwoord: b = 1,5

Punt en helling

f(1) = −2,5

f′(x) = x − 5 → f′(1) = −4

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2,5 − (−4)·1 = 1,5

Antwoord

b = 1,5

7.Numerieke methoden

Antwoord: n = 52

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Grens op de tweede afgeleide

M = 2/1³ = 2

n oplossen

n² > 8·2/(12·0,0005) = 2667

n > 51,64 → n = 52

Antwoord

n = 52

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₅ = 0,7732

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 0,5 + 0,1·(0,5) = 0,55

y₂ = 0,55 + 0,1·(0,54) = 0,604

y₃ = 0,604 + 0,1·(0,564) = 0,6604

y₄ = 0,6604 + 0,1·(0,5704) = 0,71744

y₅ = 0,71744 + 0,1·(0,55744) = 0,773184

Grafiek

y₅ = 0,7732

Antwoord

y₅ = 0,7732

De exacte waarde is y(0,5) = 0,776918.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations